Carilah masing-masing Luas Analitik dari bidang antara f(x) dan sumbu x pada interval a ≤ x ≤ b, dengan f(x) semua yang digunakan pada Tugas 1 serta nilai a dan b-nya masing-masing adalah nilai-nilai awal yang digunakan ketika mencari akar secara numerik dengan metode Bisection.
Susunlah PROGRAM KOMPUTER (bahasa pemrograman apa saja) untuk mencari Luas Numerik (metode 4-PERSEGI PANJANG dan metode TRAPESIUM) dari bidang pada soal 1) di atas, dengan N yang cukup banyak sehingga Error-nya < 0,01% dibandingkan Luas Analitik.
Masukkan ke dalam program yang anda susun, suatu algorithma menghitung (estimasi) Error tanpa menggunakan Luas Analitik. Gunakan algorithma itu untuk menghentikan program dari menambah jumlah N.
Bahaslah kelebihan dan kekurangan metode numerik mencari luas bidang dibandingkan metode analitik.
Jawaban
PENYELESAIAN ANALITIK
Fungsi : f(x)= x^2-x-6, Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 3
Luas =|[∫_0^3▒(x^2-x-6)dx] |+|[∫_3^5▒(x^2-x-6)dx] |
=|[〖1/3 x〗^3-1/2 x^2-6x] | 3¦0+|[〖1/3 x〗^3-1/2 x^2-6x] | 5¦3
=|(〖1/3 3〗^3-1/2 3^2-6.3)-(〖1/3 0〗^3-1/2 0^2-6.0) |+|(〖1/3 5〗^3-1/2 5^2-6.5)-(〖1/3 3〗^3-1/2 3^2-6.3) |
=|(-13,5)-(0) |+|(-0,8333333)-(-13,5) |
=26,1666667
Fungsi : f(x)= x^3-x-6 Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 2
Luas=|[∫_0^2▒(x^3-x-6)dx] |+|[∫_2^5▒(x^3-x-6)dx] |
=|[〖1/4 x〗^4-1/2 x^2-6x] | 2¦0+|[〖1/4 x〗^4-1/2 x^2-6x] | 5¦2
=|(〖1/4 2〗^4-1/2 2^2-6.2)-(〖1/4 0〗^4-1/2 0^2-6.0) |+|(〖1/4 5〗^4-1/2 5^2-6.5)-(〖1/4 2〗^4-1/2 2^2-6.2) |
=|(-10)-(0) |+|(113,8)-(-10)|
=133,75
Fungsi : f(x)= x^2,5-x-6 Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 2,3
Luas=|[∫_0^2,3▒(x^2,5-x-6)dx] |+|[∫_2,3^5▒(x^2,5-x-6)dx] |
=|[〖1/3,5 x〗^3,5-1/2 x^2-6x] | 2,3¦0+|[〖1/3,5 x〗^3,5-1/2 x^2-6x] | 5¦2,3
=|(〖1/3,5 2,3〗^3,5-1/2 〖2,3〗^2-6.2,3)-(〖1/3,5 0〗^3,5-1/2 0^2-6.0) |+
|(〖1/3,5 5〗^3,5-1/2 5^2-6.5)-(〖1/3,5 2,3〗^3,5-1/2 〖2,3〗^2-6.2,3) |
=|(-11,17295168)-(0) |+|(37,35957062)-(-11,17295168) |
=59,70547399
Fungsi : f(x)= x^5-2x^4+8x^3-1x^2+9x-8
Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 0,7
Luas=|[∫_0^0,7▒(x^5-2x^4+7x^3-1x^2+9x-8)dx] |+|[∫_0,7^5▒(x^5-2x^4+7x^3-1x^2+9x-8)dx] |
=|[〖1/6 x〗^6-2/5 x^5+7/4 x^4-1/3 x^3+9/2 x^2-8x] | 0,7¦0+|[〖1/6 x〗^6-2/5 x^5+7/4 x^4-1/3 x^3+9/2 x^2-8x] | 5¦0,7
=|(〖1/6 0,7〗^6-2/5 〖0,7〗^5+7/4 〖0,7〗^4-1/3 〖0,7〗^3+9/2 〖0,7〗^2-8.0,7)-(〖1/6 0〗^6-2/5 0^5+7/4 0^4-1/3 0^3+9/2 0^2-8.0) |+
|(〖1/6 5〗^6-2/5 5^5+7/4 5^4-1/3 5^3+9/2 5^2-8.5)-(〖1/6 0,7〗^6-2/5 〖0,7〗^5+7/4 〖0,7〗^4-1/3 〖0,7〗^3+9/2 〖0,7〗^2-8.0,7) |
=|(-3,136778167)-(0) |+|(2478,75)-(-3,136778167) |
=2485,023556
PENYELESAIAN NUMERIK
Penyelesaian numerik menggunakan metode 4-persegi panjang dan metode trapesium.
Metode 4-persegi panjang dan metode trapesium
Interval a < x < b dibagi menjadi N sub-interval. Untuk mengetahui ∆x setiap jumlah interval (N) digunakan persamaan :
∆x= ((b-a))/N
x_i=a+i∆x, i=0,1,2,3,…….,N
x_n=b
Contoh : diinginkan jumlah interval adalah 1000, maka :
∆x= ((5-0))/1000=0,005
Untuk menghitung error, digunakan persamaan :
Error=|(Luas Numerik-Luas Analitik)/(Luas Analitik)|*100%
Untuk menghitung (estimasi) error tanpa diketahui Luas analitiknya, maka digunakan Luas trapezium sebagai acuan:
Error=|(Luas 4PersegiPanjang-Luas Trapesium)/(Luas Trapesium)|*100%
Untuk metode 4-persegi panjang
L_i=∆x*|f(x_i ) |, i=0,1,2,3,………,N-1
atau
L_i=∆x*|f(x_i+∆x) |, i=0,1,2,3,………,N-1
Untuk metode Trapesium
L_i=∆x*[|f(x_i)|+|f(x_i+∆x) |/2, i=0,1,2,3,………,N-1
Luas bidang = ∑▒〖L_i, i=0,1,2,3,………,N-1〗
Penyelesaian dengan metode 4-persegi panjang dan metode trapesium
Fungsi : f(x)= x^2-x-6
Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 3
N ∆x Luas Trapesium Error Trapesium Luas Persegi 4 Error Persegi 4
==============================================================================================
1 5.000000000 20.000000000 23.566878981 30.000000000 14.649681529
2 2.500000000 25.000000000 4.458598726 20.625000000 21.178343949
3 1.666666667 24.814814815 5.166312810 21.111111111 19.320594480
4 1.250000000 25.000000000 4.458598726 22.812500000 12.818471338
5 1.000000000 26.000000000 0.636942675 22.000000000 15.923566879
:
:
991 0.005045409 26.166642036 0.000094128 26.146511335 0.077026747
992 0.005040323 26.166657361 0.000035564 26.146521470 0.076988012
993 0.005035247 26.166657361 0.000035563 26.146541733 0.076910574
994 0.005030181 26.166642230 0.000093389 26.146572091 0.076794559
995 0.005025126 26.166662458 0.000016084 26.146561956 0.076833291
996 0.005020080 26.166642283 0.000093185 26.146612385 0.076640568
997 0.005015045 26.166657454 0.000035208 26.146622419 0.076602221
998 0.005010020 26.166657454 0.000035207 26.146642479 0.076525557
999 0.005005005 26.166642474 0.000092457 26.146672534 0.076410699
1000 0.005000000 26.166662500 0.000015924 26.146662500 0.076449045
Untuk mendapatkan nilai error (%) pada N = 1000
Error (4 Persegi Panjang)= |(26,1466625-26.1666667)/26.1666667|*100%=0,00076449 %
Error (Trapesium)= |(26.166662500-26.1666667)/26.1666667|*100%=1,59248E-07
Estimasi Error= |(26,1466625-1,59248E-07)/(1,59248E-07)|*100%=164187904,5 %
Penyelesaian dengan metode 4-persegi panjang dan metode trapesium
Fungsi : f(x)= x^3-x-6
Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 2
N ∆x Luas Trapesium Error Trapesium Luas Persegi 4 Error Persegi 4
==============================================================================================
:
:
998 0.005010020 133.750095686 0.000071541 133.479609795 0.202160901
999 0.005005005 133.750062242 0.000046536 133.479902313 0.201942196
1000 0.005000000 133.750106250 0.000079439 133.480106250 0.201789720
Untuk mendapatkan nilai error (%) pada N = 1000
Error (4 Persegi Panjang)= |(133.480106250-133.750000000)/133.750000000|*100%=0,02017897 %
Error (Trapesium)= |(133.750106250-133.750000000)/133.750000000|*100%=7,94393E-07 %
Estimasi Error= |(133.480106250-133.750106250)/133.750106250|*100%= 0,00201869 %
Penyelesaian dengan metode 4-persegi panjang dan metode trapesium
Fungsi : f(x)= x^2,5-x-6
Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 2,3
N ∆x Luas Trapesium Error Trapesium Luas Persegi 4 Error Persegi 4
==============================================================================================
:
:
998 0.005010020 59.715365328 0.016566882 59.617947411 0.146597249
999 0.005005005 59.715342084 0.016527949 59.618065122 0.146400096
1000 0.005000000 59.715368492 0.016572181 59.618132318 0.146287550
59.705473993
Untuk mendapatkan nilai error (%) pada N = 1000
Error (4 Persegi Panjang)= |(59.618132318-59.705473993)/59.705473993|*100%=0,001462875 %
Error (Trapesium)= |(59.715368492-59.705473993)/59.705473993|*100%= 0,000165772 %
Estimasi Error= |(59.618132318-59.715368492)/59.715368492|*100%= 0,001628327 %
Penyelesaian dengan metode 4-persegi panjang dan metode trapesium
Fungsi : f(x)= x^5-2x^4+8x^3-x^2+9x-8
Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 2,3
N ∆x Luas Trapesium Error Trapesium Luas Persegi 4 Error Persegi 4
==============================================================================================
:
:
998 0.00501 2480.61085 78981.48812 2483.09081 79060.54885
999 0.00501 2480.61778 78981.70902 2483.09776 79060.77039
1000 0.00500 2480.62472 78981.93027 2483.10472 79060.99229
Untuk mendapatkan nilai error (%) pada N = 1000
Error (4 Persegi Panjang)= |(2483,10472-2485,023556)/2485,023556|*100%=0,00077216 %
Error (Trapesium)= |(2483,10472-2485,023556)/2485,023556|*100%= 0,001770139 %
Estimasi Error= |(2483,10472-2480,62472)/2480,62472|*100%= 0,000999748 %
Algoritma :
Procedure Mencari_Akar_Persamaan;
Begin
1 : Batas_Bawah a;
2 : Batas_Atas b;
3 : Toleransi T:
For N := 1 to 1000 do
Begin
dx:=(b-a)/n;
For M := 1 to N do
Begin
fp := persamaan(p);
q := a + m * dx;
fq := persamaan(q);
L[m] := 0.5 * abs(fp+fq)*dx;
L4[m] := abs(fp*dx);
Luas := Luas + L[m];
Luas_4 := Luas_4 + L4[m];
End;
errorTrapesium := abs((Luas - LAnalitik)/LAnalitik)*100;
error4 := abs((Luas_4 - LAnalitik)/LAnalitik)*100;
end;
Kelebihan dan kekurangan Metode Numerik dan Metode Analitik
Metode Numerik Analitik
Mudah dalam mencari luas bidang, walaupun tidak diketahui penyelesaian analitiknya Integral tidak selalu dapat mencari luas bidang
Selalu bernilai positif karena diabsolutkan Hasil bisa bernilai positif dan negatif
Error dapat diestimasi dengan cara membandingkan dengan metode numeric yang lain Tanpa error
Tidak ada komentar:
Posting Komentar