MENCARI AKAR PERSAMAAN DENGAN METODE BISECTION
Metode bisection adalah metode yang membagi area dibagi menjadi 2 bagian. Dari dua bagian ini dipilih bagian yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang sehingga area akan dipersempit sampai diperoleh akar persamaan.
Langkah metode bisection :
Untuk memilih 2 bagian tersebut, maka dipilih secara acak nilai a sebagai batas bawah dan nilai b sebagai batas atas untuk taksiran akar sehingga terjadi perubahan tanda fungsi dalam selang interval. Masukkan nilai a ke persamaan sehingga didapatkan f(a), dan masukkan juga nilai b ke persamaan sehingga didapatkan f(b).Nilai a dan nilai b harus memenuhi syarat, yaitu :
f(a) . f(b) < 0
Hitung nilai c dengan :
c=(a+b)/2
Kemudian masukkan nilai c kedalam persamaan sehingga didapatkan nilai f(c).
Jika f(c) < 0, maka pada iterasi berikutnya, nilai c mengganti nilai a.
Jika f(c) > 0, maka pada iterasi berikutnya, nilai c mengganti nilai b.
Untuk itersai berikutnya, ulangi langkah pada poin 2 dan 3, dan seterusnya
Pembahasan tugas adalah mencari akar persamaan dengan menggunakan metode bisection. Ada 4 persamaan yang dicari akar persamaannya, yaitu :
f(x)= x^2-x-6=0
f(x)= x^3-x-6=0
f(x)= x^2,5-x-6=0
f(x)= x^5-〖Ax〗^4+〖Bx〗^3-〖Cx〗^2+Dx-E=0 , dengan nilai A, B, C, D dan E diambil dari angka-angka bukan 0 (nol) tanggal lahir.
Persamaan 1 :
f(x)= x^2-x-6=0
Iterasi -1
Tentukan nilai a dan dan nilai b, masukkan ke persamaan sehingga di dapat nilai f(a) dan f(b).
a = 0, maka f(a)= 〖a^2- a-6=0〗^2- 0-6=-6
b = 5, maka f(b)= 〖b^2- b-6=5〗^2- 5-6=14
diperiksa dengan f(a) * f(b) < 0, dan hasilnya adalah : -6*14<0, artinya pemilihan nilai a dan nilai b valid atau memenuhi syarat.
c=(0+5)/2=2,5 ,sehingga f(c)=〖2,5〗^2-2,5-6= -2,25
Karena hasilnya f(c) < 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai a diganti dengan nilai c dan nilai b tetap.
Iterasi -2
Pada iterasi ke-2, nilai c mengganti nilai a dan nilai b tetap sehingga :
a = 2,5, maka f(a)= 〖a^2- a-6=2,5〗^2-2,5 -6=-2,25
b = 5, maka f(b)= 〖b^2- b-6=5〗^2- 5-6=14
kemudian :
c=(2,5+5)/2=3,75, sehingga f(c)=〖3,75〗^2-3,75-6= 4,3125
Karena hasilnya f(c) > 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai b diganti dengan nilai c dan nilai a tetap.
Iterasi -3
Pada iterasi ke-3, nilai c mengganti nilai b dan nilai a tetap sehingga :
a = 2,5, maka f(a)= 〖a^2- a-6=2,5〗^2-(2,5) -6=-2,25
b = 3,75, maka f(b)= 〖b^2- b-6=3,75〗^2- 3,75-6=4,3125
kemudian :
c=(2,5+3,73)/2=3,125, sehingga f(c)=〖3,125〗^2-3,125-6= 0,640625
Karena hasilnya f(c) > 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai b diganti nilai c dan nilai a tetap.
Langkah yang sama diterapkan pada iterasi selanjutnya hingga didapatkan nilai f(c) mendekati nol atau f(c)=0.
Untuk persamaan f(x)=x^2-x-6=0, dengan nilai a = 0 dan nilai b = 5 dan tingkat ketelitian sampai 0,00001 sehingga proses perhitungan berakhir pada iterasi ke-19 dan didapatkan nilai c = 3,00000190734863 dan f(c)=9,536746802041313E-6.
Nilai f(c) tersebut dianggap mendekati nol sehingga didapatkan akar untuk persamaan diatas adalah x = 3,00000190734863.
Tampilan program mencari akar persamaan f(x)= x^2-x-6=0
Persamaan 2 :
f(x)= x^3-x-6=0
Iterasi -1
Tentukan nilai a dan dan nilai b, masukkan ke persamaan sehingga di dapat nilai f(a) dan f(b).
a = 0, maka f(a)= 〖a^3- a-6=0〗^3- 0-6=-6
b = 5, maka f(b)= 〖b^3- b-6=5〗^3- 5-6=114
diperiksa dengan f(a) * f(b) < 0, dan hasilnya adalah : -6*114<0, artinya pemilihan nilai a dan nilai b valid atau memenuhi syarat.
c=(0+5)/2=2,5 ,sehingga f(c)=〖2,5〗^3-2,5-6= 7,125
Karena hasilnya f(c) > 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai b diganti dengan nilai c dan nilai a tetap.
Iterasi -2
Pada iterasi ke-2, nilai c mengganti nilai b dan nilai a tetap sehingga :
a = 0, maka f(a)= 〖a^3- a-6=0〗^3-0 -6=-6
b = 2,5, maka f(b)= 〖b^3- b-6=2,5〗^3- 2,5-6=7,125
kemudian :
c=(0+2,5)/2=1,25, sehingga f(c)=〖1,25〗^3-1,25-6= -5,296875
Karena hasilnya f(c) < 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai a diganti dengan nilai c dan nilai b tetap.
Iterasi -3
Pada iterasi ke-3, nilai c mengganti nilai b dan nilai a tetap sehingga :
a = 1,25, maka f(a)= 〖a^3- a-6=1,25〗^3-1,25 -6=-5,296875
b = 2,5, maka f(b)= 〖b^3- b-6=2,5〗^3- 2,5-6=7,125
kemudian :
c=
(1,25+2,5)/2=1,875, sehingga f(c)=〖1,875〗^3-1,875-6= -1,283203125
Karena hasilnya f(c) < 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai a diganti nilai c dan nilai b tetap.
Langkah yang sama diterapkan pada iterasi selanjutnya hingga didapatkan nilai f(c) mendekati nol atau f(c)=0.
Untuk persamaan f(x)=x^3-x-6=0, dengan nilai a = 0 dan nilai b = 5 dan tingkat ketelitian sampai 0,00001, proses perhitungan berakhir pada iterasi ke-21 dan didapatkan nilai c = 2,00000047683716 dan f(c)=5,24521010447643E-6. Nilai f(c) tersebut dianggap mendekati nol sehingga didapatkan akar untuk persamaan diatas adalah x = 2,00000047683716.
Tampilan program mencari akar persamaan f(x)= x^3-x-6=0
Persamaan 3 :
f(x)= x^2,5-x-6=0
Iterasi -1
Tentukan nilai a dan dan nilai b, masukkan ke persamaan sehingga di dapat nilai f(a) dan f(b).
a = 0, maka f(a)= 〖a^2,5- a-6=0〗^2,5- 0-6=-6
b = 5, maka f(b)= 〖b^2,5- b-6=5〗^2,5- 5-6=44,9016994374947
diperiksa dengan f(a) * f(b) < 0, dan hasilnya adalah : -6*44,9016994374947 <0, artinya pemilihan nilai a dan nilai b valid atau memenuhi syarat.
c=(0+5)/2=2,5 ,sehingga f(c)=〖2,5〗^2,5-2,5-6=1,38211768802619
Karena hasilnya f(c) > 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai b diganti dengan nilai c dan nilai a tetap.
Iterasi -2
Pada iterasi ke-2, nilai c mengganti nilai b dan nilai a tetap sehingga :
a = 0, maka f(a)= 〖a^2,5- a-6=0〗^2,5-0 -6=-6
b = 2,5, maka f(b)= 〖b^2,5- b-6=2,5〗^2,5- 2,5-6=1,38211768802619
kemudian :
c=(0+2,5)/2=1,25, sehingga f(c)=〖1,25〗^2,5-1,25-6= -5,50307189257829
Karena hasilnya f(c) < 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai a diganti dengan nilai c dan nilai b tetap.
Iterasi -3
Pada iterasi ke-3, nilai c mengganti nilai a dan nilai b tetap sehingga :
a = 1,25, maka f(a)= 〖a^2,5- a-6=1,25〗^2,5-1,25 -6=-5,50307189257829
b = 2,5, maka f(b)= 〖b^2,5- b-6=2,5〗^2,5- 2,5-6=1,38211768802619
kemudian :
c=(1,25+2,5)/2=1,875, sehingga f(c)=〖1,875〗^2,5-1,875-6= -3,06103220942725
Karena hasilnya f(c) < 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai a diganti nilai c dan nilai b tetap.
Langkah yang sama diterapkan pada iterasi selanjutnya hingga didapatkan nilai f(c) mendekati nol atau f(c)=0.
Untuk persamaan f(x)=x^2,5-x-6=0, dengan nilai a = 0 dan nilai b = 5 dan tingkat ketelitian sampai 0,00001, proses perhitungan berakhir pada iterasi ke-21 dan didapatkan nilai c = 2,33545541763306 dan f(c)=-7,28903263809335E-6. Nilai f(c) tersebut dianggap mendekati nol sehingga didapatkan akar untuk persamaan diatas adalah x = 2, 33545541763306.
Tampilan program mencari akar persamaan f(x)= x^2,5-x-6=0
Persamaan 4 :
f(x)= x^5-〖Ax〗^4+〖Bx〗^3-〖Cx〗^2+Dx-E=0 , dengan nilai A, B, C, D dan E diambil dari angka-angka bukan 0 (nol) tanggal lahir. Karena tanggal lahir : 28-11-1981, maka dipilih nilai A = 2, B = 8, C = 1, D = 1 dan E = 8, maka persamaan menjadi :
f(x)= x^5-〖2x〗^4+〖8x〗^3-〖1x〗^2+1x-8=0
Iterasi -1
Tentukan nilai a dan dan nilai b, masukkan ke persamaan sehingga di dapat nilai f(a) dan f(b).
a = 0, maka f(a)=a^5-〖2a〗^4+〖8a〗^3-〖1a〗^2+1a-8
=0^5-〖(2*0〗^4)+〖(8*0〗^3)-〖(1*0〗^2)+(1*0)-8
f(a)=-8
b = 5, maka f(b)= b^5-〖2b〗^4+〖8b〗^3-〖1b〗^2+1b-8
=5^5-〖(2*5〗^4)+〖(8*5〗^3)-〖(1*5〗^2)+(1*5)-8
f(b)=2847
diperiksa dengan f(a) * f(b) < 0, dan hasilnya adalah : -8*2847<0, artinya pemilihan nilai a dan nilai b valid atau memenuhi syarat.
c=(0+5)/2=2,5 ,sehingga
f(c)=c^5-〖2c〗^4+〖8c〗^3-〖1c〗^2+1c-8
= 〖2,5〗^5-〖(2*2,5〗^4)+〖(8*2,5〗^3)-〖(1*2,5〗^2)+(1*2,5)-8
f(c)=132,78125
Karena hasilnya f(c) > 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai b diganti dengan nilai c dan nilai a tetap.
Iterasi -2
Pada iterasi ke-2, nilai c mengganti nilai b dan nilai a tetap sehingga :
a = 0, maka f(a)=-8
b = 2,5, maka f(b)= 〖2,5〗^5-〖(2*2,5〗^4)+〖(8*2,5〗^3)-〖(1*2,5〗^2)+(1*2,5)-8
f(b)=132,78125
kemudian :
c=(0+2,5)/2=1,25, sehingga
f(c)= 〖1,25〗^5-〖(2*1,25〗^4)+〖(8*1,25〗^3)-〖(1*1,25〗^2)+(1*1,25)-8
f(c)=8,37695313
Karena hasilnya f(c) > 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai b diganti dengan nilai c dan nilai a tetap.
Iterasi -3
Pada iterasi ke-3, nilai c mengganti nilai b dan nilai a tetap sehingga :
a = 0, maka f(a)=-8
b = 1,25 , maka f(b)=8,37695313
kemudian :
c=(0+1,25)/2=0,625 , sehingga
f(c)=〖0,625〗^5-〖(2*0,625〗^4)+〖(8*0,625〗^3)-〖(1*0,625〗^2)+(1*0,625)-8
f(c)=-7,068331148
Karena hasilnya f(c) < 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai a diganti nilai c dan nilai b tetap.
Langkah yang sama diterapkan pada iterasi selanjutnya hingga didapatkan nilai f(c) mendekati nol atau f(c)=0.
Untuk persamaan f(x)= x^5-〖2x〗^4+〖8x〗^3-〖1x〗^2+1x-8=0, dengan nilai a = 0 dan nilai b = 5 dan tingkat ketelitian sampai 0,00001, proses perhitungan berakhir pada iterasi ke-22 dan didapatkan nilai c = 1,04756951332092 dan f(c)=2,33295802166879E-6. Nilai f(c) tersebut dianggap mendekati nol sehingga didapatkan akar untuk persamaan diatas adalah x =1,04756951332092.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Algoritma (pseudo code):
Procedure Mencari_Akar_Persamaan;
Begin
c:=0;
1 : Batas_Bawah a;
2 : Batas_Atas b;
3 : Toleransi T:
4 : If ( f(a)*f(b)) > 0 then ke-langkah 1 dan 2; {cek validasi nilai a dan b}
5 : Repeat
c:=(a+b)/2;
f(c):=persamaan (c);
if f(c) < 0 then
begin
a:=c;
f(a) := persamaan (a)
end
else
begin
b:=c;
f(b) := persamaan (b)
end
until
f(c)< T OR f(c)= 0;
output akar := c;
end;
Penggalan kode untuk metode bisection
c := (BatasBawah + BatasAtas)/2;
FC := persamaan(c);
if (IsZero( abs(FC), FPendekatan)) then
begin
baru.SubItems.Add('Akar x = '+ FloatToStr(c));
end
else if (FC < 0) then
begin
if ((persamaan(BatasBawah) < 0) and (persamaan(BatasAtas) > 0)) then
begin
BatasBawah := c;
end;
if ((persamaan(BatasBawah) > 0) and (persamaan(BatasAtas ) < 0)) then
begin
BatasAtas := c;
end;
end
else if (FC > 0) then
begin
if ((persamaan(BatasBawah) > 0) and (persamaan(BatasAtas) < 0)) then
begin
BatasBawah := c;
end;
if ((persamaan(BatasBawah) < 0) and (persamaan(BatasAtas) > 0)) then
begin
BatasAtas := c;
end;
end;
until (IsZero( abs(FC), Pendekatan) );
end;
Keterangan :
IsZero adalah fungsi yang digunakan untuk memeriksa apakah nilai abs(fc) sangat dekat dengan nilai pendekatan yang diberikan (toleransi error).
Ciri-ciri penyelesaian numerik dan analitik:
No Numerik Analitik
1 Menggunakan operasi perhitungan / aritmatika biasa (tambah, kurang, kali dan bagi) Menggunakan berbagai macam operasi perhitungan tingkat lanjut (kalkulus, aljabar, geometri
2 Solusi selalu berbentuk angka Solusi bisa berbentuk fungsi yang kemudian menghasilkan angka
3 Bukan solusi exact, tetapi mendekati solusi exact sehingga disebut juga solusi pendekatan (approximation) Solusi exact
4 Mempunyai error (selisih solusi numerik terhadap solusi exact) Tidak ada error atau error = 0
5 Error dapat diperkecil dengan berbagai metode (contoh : memperbanyak iterasi dan memperbanyak interval)
6 Mampu menyelesaikan persoalan matematika yang tidak bisa dilakukan oleh metode analitik Unggul untuk persoalan yang terbatas
7 Bersifat praktis Bersifat teoritis
8 Iterasi aritmatika biasanya berjumlah banyak Umumnya tanpa iterasi
9 Membutuhkan alat bantu untuk perhitungan (kalkulator, computer) Dapat diselesaikan tanpa alat bantu
Tidak ada komentar:
Posting Komentar