Kamis, 06 Oktober 2011
Kumpulan soal Pemodelan & Metode Numerik
TUGAS I
Susunlah Program Komputer (bahasa pemrograman apa saja) untuk mencari nilai
x yang memenuhi persamaan: f(x) = 0 dengan menggunakan Metode BISECTION
(Newton's Secant Method)
(1) Ujicobalah program anda untuk f(x) = x2 – x – 6 = 0
(2) Setelah teruji benar, gunakan program anda untuk
(a) f(x) = x3 – x – 6 = 0
(b) f(x) = x2.5 – x – 6 = 0
(3) Selanjutnya, gunakan pula program anda untuk f(x) = x5– Ax4+ Bx3– Cx2+ Dx – E = 0
dengan ABCDE diambil dari angka angka bukan nol tanggal lahir anda HH-BB-19TT
(4) Dari pengalaman di atas, uraikan dan diskusikan Ciri-Ciri penyelesaian
NUMERIK bila dibandingkan dengan penyelesaian ANALITIK.
TUGAS II
1) Carilah masing-masing Luas Analitik dari bidang antara f(x) dan sumbu x pada interval
a < x < b, dengan f(x) semua yang digunakan pada Tugas 1 serta nilai a dan b -nya masingmasing adalah nilai-nilai awal yang digunakan ketika mencari akar secara numerik dengan metode Bisection.
2) Susunlah Program Komputer (bahasa pemrograman apa saja) untuk mencari Luas
Numerik (metode 4 -Persegi Panjang dan metode Trapesium) dari bidang pada soal 1)
di atas, dengan N yang cukup banyak sehingga Error-nya < 0,01% dibandingkan Luas Analitik.
3) Masukkan ke dalam program yang anda susun, suatu algorithma menghitung (estimasi)
Error tanpa menggunakan Luas Analitik. Gunakan algorithma itu untuk menghentikan
program dari menambah jumlah N.
4) Bahaslah kelebihan dan kekurangan metode numerik mencari luas bidang
dibandingkan metode analitik.
TUGAS III
BAGIAN 1
Susunlah suatu program yang menerapkan langkah-langkah mencari solusi numerik dari
suatu persamaan differensial order pertama dengan menggunakan selisih antara Metode
Numerik Order Pertama dan Order Kedua sebagai estimasi error untuk mengatur stepsize.
Ujilah program anda dengan contoh soal yang dibahas di kelas.
BAGIAN 2
Gunakan program pada Bagian 1 untuk mencari solusi persamaan differensial yang
diturunkan dari suatu rangkaian pelepasan muatan kapasitor C melalui resistor R dan
induktor L sebagaimana yang diterangkan di kelas berikut ini ..........
Susunlah Program Komputer (bahasa pemrograman apa saja) untuk mencari nilai
x yang memenuhi persamaan: f(x) = 0 dengan menggunakan Metode BISECTION
(Newton's Secant Method)
(1) Ujicobalah program anda untuk f(x) = x2 – x – 6 = 0
(2) Setelah teruji benar, gunakan program anda untuk
(a) f(x) = x3 – x – 6 = 0
(b) f(x) = x2.5 – x – 6 = 0
(3) Selanjutnya, gunakan pula program anda untuk f(x) = x5– Ax4+ Bx3– Cx2+ Dx – E = 0
dengan ABCDE diambil dari angka angka bukan nol tanggal lahir anda HH-BB-19TT
(4) Dari pengalaman di atas, uraikan dan diskusikan Ciri-Ciri penyelesaian
NUMERIK bila dibandingkan dengan penyelesaian ANALITIK.
TUGAS II
1) Carilah masing-masing Luas Analitik dari bidang antara f(x) dan sumbu x pada interval
a < x < b, dengan f(x) semua yang digunakan pada Tugas 1 serta nilai a dan b -nya masingmasing adalah nilai-nilai awal yang digunakan ketika mencari akar secara numerik dengan metode Bisection.
2) Susunlah Program Komputer (bahasa pemrograman apa saja) untuk mencari Luas
Numerik (metode 4 -Persegi Panjang dan metode Trapesium) dari bidang pada soal 1)
di atas, dengan N yang cukup banyak sehingga Error-nya < 0,01% dibandingkan Luas Analitik.
3) Masukkan ke dalam program yang anda susun, suatu algorithma menghitung (estimasi)
Error tanpa menggunakan Luas Analitik. Gunakan algorithma itu untuk menghentikan
program dari menambah jumlah N.
4) Bahaslah kelebihan dan kekurangan metode numerik mencari luas bidang
dibandingkan metode analitik.
TUGAS III
BAGIAN 1
Susunlah suatu program yang menerapkan langkah-langkah mencari solusi numerik dari
suatu persamaan differensial order pertama dengan menggunakan selisih antara Metode
Numerik Order Pertama dan Order Kedua sebagai estimasi error untuk mengatur stepsize.
Ujilah program anda dengan contoh soal yang dibahas di kelas.
BAGIAN 2
Gunakan program pada Bagian 1 untuk mencari solusi persamaan differensial yang
diturunkan dari suatu rangkaian pelepasan muatan kapasitor C melalui resistor R dan
induktor L sebagaimana yang diterangkan di kelas berikut ini ..........
Tugas 3 Sistem Kendali Proses
Gambar skenario 2
Ciri-ciri keadaan normal :
o Kedua konveyor selalu membawa material
o Level silo 1 & silo 2 relatif konstan
skenario 2:
Perubahan yang terjadi adalah:
• Keadaan awal silo 1 dan silo 2 sama- sama terisi
• Katub silo 2 dibuka duluan, baru katub silo 1
• Batas tumpah di conveyer 1 dan 2 dikembalikan ke 0.008 L/sec
• Time constant di silo 1 dan 2 ditiadakan, dipindahkan ke klin 1, klin2 dan cooler
• Bukaan katub hanya 5%
• Silo 2 mengisi cawan conveyor 2
• Step time 2 dibuka
Skenario 2 dengan mengatur kecepatan motor, Pada Kenadalian Level Skenario 2 ,silo 1 terisi 5,97 L dan silo 2 terisi 6 L dengan step (debit pasir ) 0,0002 liter/sec membutuhkan waktu 7500 detik,konveyor 1dipercepat misalnya 1000 rpm dan konveyor 2 diperlambat 300 rpm
• Time level2
28.069
28.069
28.069
28.069
28.069
…………
28.106
28.106
28.106
28.106
28.106
Time level2 detik ke 2 yaitu 0,02 penurunan kecil sekali tidak terlihat digrafik ditumpuk ke cawan2 beberapa detik kemudian mengikuti ujung conv2 baru mengisi silo 1.
Untuk itu dapat diamati pada bagan skenario dibawah ini:
Kendalian_level_skenario_2/KENDALIAN LEVEL
Untuk keadaan pertama katub silo 1 dan 2 terisi, seperti terlihat pada gambar diatas. Ternyata pada kondisi awal pada integrator diatas (VOLUME AWAL), harus sesuai dengan kondisi awal dari integrator di dalam TIME CONSTANT (LEVEL AWAL). Misalnya LEVEL AWAL dalam time constant adalah 20 cm, berarti pada integrator diatas harus dimasukkan VOLUME AWAL yang sesuai seperti gambar di bawah ini,
Sedangkan untuk silo 2, yakni:
o Tahap selanjutnya adalah membuka katub silo 2 terlebih dahulu,
o Selanjutnya membuka katub silo 1
o Selanjutnya, batas tumpah di conveyer 1 dan 2 dikembalikan ke 0.16 L/sec
o Dengan mengubah batas tumpah pada conveyer 1 dan 2 menjadi 0.16 L/sec
Selanjutnya, time constant ditiadakan, dipindahkan ke klin 1 dan klin 2 dan cooler . Dimana bukaan katub hanya 5%, skenario 2 dengan mengatur kecepatan motor,
Conveyer 1
Pada skenario kecepatan motor 1000 rpm diperoleh dari perbandingan gear ratio
A = 15, B = 35.....Gear ratio = B/A
= 2,33 ..sehingga RPM_nya 1/2,33
= 429 rpm
Kapasitas cawan = π 4/3 r3 (setengah lingkaran)
= 3.14x 4/3x 4,253
= 0.005 liter/sec
identifikasi input output
Berikut ini adalah masukan (input) bagi Solid Material Process Control Plant di atas, serta pengaruhnya terhadap keluaran:
• Debit air (L/sec.) Semakin besar debit air, maka semakin tinggi level serta kelembaban keluaran.
• Suhu air (oC) Suhu air berbanding lurus dengan suhu keluaran. Semakin tinggi suhu air, maka tinggi pula suhu keluaran, dan sebaliknya.
• Debit pasir (L/sec.) Semakin besar debit pasir, maka semakin tinggi level keluaran.
• Suhu pasir (oC) Suhu pasir berbanding lurus dengan suhu keluaran.
• Bukaan katup (%) mempengaruhi level keluaran. Semakin besar bukaan katup, maka semakin tinggi level keluaran, demikian pula sebaliknya.
• Kelembaban pasir (%) mempengaruhi kelembaban keluaran. Semakin lembab pasir, maka semakin tinggi pula tingkat kelembaban keluarannya.
• Kecepatan motor penggerak conveyor (rpm) mempengaruhi level keluaran. Semakin tinggi kecepatan motor, maka semakin tinggi level keluaran.
• Suhu pembakaran (oC) pada pre-heater dan heater mempengaruhi suhu dan kelembaban keluarannya. Semakin tinggi suhu pembakaran, semakin rendah kelembaban keluaran, atau dengan kata lain suhu pembakaran berbanding terbalik dengan kelembaban keluarannya. Namun suhu pembakaran ini sebanding dengan suhu keluaran.
Skenario3
Pada skenario3 sensor mengkonversi level [cm] menjadi tegangan ,standar tegangan mempunyai kelebihan dan kekurangan dalam analog misalnya tegangan sensor 0-5 volt.Sensor tidak langsung mengukur misalnya seperti gambar dibawah ini,
Scope 1
scope2
Time Konstan diperpanjang....
Monitoring & kontrol
Time level1 level2
0.0281
0.0281
0.0281
0.0281
0.0281
.....................
Gambar_keadaan_normal
Terlihat ada keterlambatan sensor yaitu sensor level1 & sensor level2 tidak sampai 5 volt & tidak lebih 5 volt
Kesimpulan
Dari output yang dihasilkan diatas, disimpulkan bahwa sebuah sebuah kendalian dapat mengendalikan dan mendeteksi atau merespon gangguan sehingga akan memberikan respon atau reaksi yang berusaha selalu menyeimbangkan kondisi sistem pada level sehingga mengurangi rugi – rugi yang mungkin timbul.
Ciri-ciri keadaan normal :
o Kedua konveyor selalu membawa material
o Level silo 1 & silo 2 relatif konstan
skenario 2:
Perubahan yang terjadi adalah:
• Keadaan awal silo 1 dan silo 2 sama- sama terisi
• Katub silo 2 dibuka duluan, baru katub silo 1
• Batas tumpah di conveyer 1 dan 2 dikembalikan ke 0.008 L/sec
• Time constant di silo 1 dan 2 ditiadakan, dipindahkan ke klin 1, klin2 dan cooler
• Bukaan katub hanya 5%
• Silo 2 mengisi cawan conveyor 2
• Step time 2 dibuka
Skenario 2 dengan mengatur kecepatan motor, Pada Kenadalian Level Skenario 2 ,silo 1 terisi 5,97 L dan silo 2 terisi 6 L dengan step (debit pasir ) 0,0002 liter/sec membutuhkan waktu 7500 detik,konveyor 1dipercepat misalnya 1000 rpm dan konveyor 2 diperlambat 300 rpm
• Time level2
28.069
28.069
28.069
28.069
28.069
…………
28.106
28.106
28.106
28.106
28.106
Time level2 detik ke 2 yaitu 0,02 penurunan kecil sekali tidak terlihat digrafik ditumpuk ke cawan2 beberapa detik kemudian mengikuti ujung conv2 baru mengisi silo 1.
Untuk itu dapat diamati pada bagan skenario dibawah ini:
Kendalian_level_skenario_2/KENDALIAN LEVEL
Untuk keadaan pertama katub silo 1 dan 2 terisi, seperti terlihat pada gambar diatas. Ternyata pada kondisi awal pada integrator diatas (VOLUME AWAL), harus sesuai dengan kondisi awal dari integrator di dalam TIME CONSTANT (LEVEL AWAL). Misalnya LEVEL AWAL dalam time constant adalah 20 cm, berarti pada integrator diatas harus dimasukkan VOLUME AWAL yang sesuai seperti gambar di bawah ini,
Sedangkan untuk silo 2, yakni:
o Tahap selanjutnya adalah membuka katub silo 2 terlebih dahulu,
o Selanjutnya membuka katub silo 1
o Selanjutnya, batas tumpah di conveyer 1 dan 2 dikembalikan ke 0.16 L/sec
o Dengan mengubah batas tumpah pada conveyer 1 dan 2 menjadi 0.16 L/sec
Selanjutnya, time constant ditiadakan, dipindahkan ke klin 1 dan klin 2 dan cooler . Dimana bukaan katub hanya 5%, skenario 2 dengan mengatur kecepatan motor,
Conveyer 1
Pada skenario kecepatan motor 1000 rpm diperoleh dari perbandingan gear ratio
A = 15, B = 35.....Gear ratio = B/A
= 2,33 ..sehingga RPM_nya 1/2,33
= 429 rpm
Kapasitas cawan = π 4/3 r3 (setengah lingkaran)
= 3.14x 4/3x 4,253
= 0.005 liter/sec
identifikasi input output
Berikut ini adalah masukan (input) bagi Solid Material Process Control Plant di atas, serta pengaruhnya terhadap keluaran:
• Debit air (L/sec.) Semakin besar debit air, maka semakin tinggi level serta kelembaban keluaran.
• Suhu air (oC) Suhu air berbanding lurus dengan suhu keluaran. Semakin tinggi suhu air, maka tinggi pula suhu keluaran, dan sebaliknya.
• Debit pasir (L/sec.) Semakin besar debit pasir, maka semakin tinggi level keluaran.
• Suhu pasir (oC) Suhu pasir berbanding lurus dengan suhu keluaran.
• Bukaan katup (%) mempengaruhi level keluaran. Semakin besar bukaan katup, maka semakin tinggi level keluaran, demikian pula sebaliknya.
• Kelembaban pasir (%) mempengaruhi kelembaban keluaran. Semakin lembab pasir, maka semakin tinggi pula tingkat kelembaban keluarannya.
• Kecepatan motor penggerak conveyor (rpm) mempengaruhi level keluaran. Semakin tinggi kecepatan motor, maka semakin tinggi level keluaran.
• Suhu pembakaran (oC) pada pre-heater dan heater mempengaruhi suhu dan kelembaban keluarannya. Semakin tinggi suhu pembakaran, semakin rendah kelembaban keluaran, atau dengan kata lain suhu pembakaran berbanding terbalik dengan kelembaban keluarannya. Namun suhu pembakaran ini sebanding dengan suhu keluaran.
Skenario3
Pada skenario3 sensor mengkonversi level [cm] menjadi tegangan ,standar tegangan mempunyai kelebihan dan kekurangan dalam analog misalnya tegangan sensor 0-5 volt.Sensor tidak langsung mengukur misalnya seperti gambar dibawah ini,
Scope 1
scope2
Time Konstan diperpanjang....
Monitoring & kontrol
Time level1 level2
0.0281
0.0281
0.0281
0.0281
0.0281
.....................
Gambar_keadaan_normal
Terlihat ada keterlambatan sensor yaitu sensor level1 & sensor level2 tidak sampai 5 volt & tidak lebih 5 volt
Kesimpulan
Dari output yang dihasilkan diatas, disimpulkan bahwa sebuah sebuah kendalian dapat mengendalikan dan mendeteksi atau merespon gangguan sehingga akan memberikan respon atau reaksi yang berusaha selalu menyeimbangkan kondisi sistem pada level sehingga mengurangi rugi – rugi yang mungkin timbul.
Tugas Final
METODE EULER
Metode Numerik Orde I atau XA(∆t)
X_A (∆t)= x(t+∆t)=x(t)+∆t((dx(t))/dt)+Error (1)
mulai pada t = 0, dihitung x(0+∆t)=x(0)+∆t f{t,x(0)} dan seterusnya…
Metode Numerik Orde II atau XB(∆t)
X_B (∆t)= x(t+∆t)=x(t)+∆t((dx(t))/dt)+(1/2) 〖(∆t)〗^2 ((d^2 x(t))/〖dt〗^2 )+Error (2)
Jika : x^' (t)=(dx(t))/dt dan x^'' (t)=(d^2 x(t))/〖dt〗^2 , maka x(t+∆t)=x(t)+∆t[x^' (t) ]+(1/2) 〖(∆t)〗^2 [x^'' (t)]
Setelah di olah, maka persamaan numerik orde II menjadi :
x(t+∆t)=x(t)+1/2 ∆t[x^' (t)+Ex^' (t+∆t) ] (3)
Dengan :
estimasi x(t+∆t) ∶ Ex(t+∆t)=x(t)+∆t[x^' (t)]
estimasi x'(t+∆t) ∶ Ex'(t+∆t)=f{t+∆t,Ex(t+∆t)}
Estimasi Error : E_est=|X_B (∆t)-X_A (∆t)| (4)
Contoh kasus : soal yang dikelas :
(dx(t))/dt=x^' (t)=f{t,x(t) }= -2 x(t) ,x(0)=10
Solusi menggunakan Metode Numerik Deret Euler Orde I atau XA(∆t)
X_A (∆t)= x(t+∆t)=x(t)+∆t((dx(t))/dt)
Misalnya Δt = 0.05 , ε = 0.000001
Pada t=0 :
t=0∶ x(∆t) =x(0)+∆t(dx(0)/dt)
=x(0)+∆t(-2*x(0))
=10+0.05(-2*10)
x(0.05)=9
t=0.05∶ x(∆t) =x(0.05)+∆t(dx(0.05)/dt)
=9+0.05(-2*9)
x(0.1)=8.1
t = 0.1 : ………………….dan seterusnya
Solusi menggunakan Metode Numerik Deret Euler Orde II atau XB(∆t)
x(t+∆t)=x(t)+1/2 ∆t[x^' (t)+Ex^' (t+∆t) ]
t=0∶ x^' (0) =-2*10=-20
Ex(0+∆t) =x(0)+∆t[x^' (0) ]= 10+(0.05)*(-20)= 9
Ex^' (0+∆t)=-2*Ex(∆t)= -2*9= -18
x(t+∆t)=10+1/2 0.05[-20+(-18) ]
x(0.05)=9.05
t=0.05∶ x^' (0.05) =-2*9.05=-18.1
Ex(0.05+∆t) =x(0.05)+∆t[x^' (0.05) ]= 9.05+(0.05)*(-18.1)= 8.145 Ex^' (0.05+∆t)=-2*Ex(0.05+∆t)= -2*8.145= -16.29
x(t+∆t)=9.05+1/2 0.05[-18.1+(-16.29) ]
x(0.1)=8.19025
t = 0.1 : ………………….dan seterusnya
Estimasi Error :
E_est=|X_B (∆t)-X_A (∆t)|
t = 0 : Eest = | 9.05 – 9 | = 0.05
t = 0.05 : Eest = | 8.19025 – 8.1 | = 0.09025
t = 0.1 : ………………….dan seterusnya
Langkah selanjutnya adalah membandingkan nilai estimasi error dengan nilai batas toleransi sampai didapatkan Eest ≤ ε .
Langkah-langkah program :
Input Variabel ---> Proses perhitungan ----> Membandingkan hasil orde 1 dan orde 2 ----> Jika Nilai (estimasi<=toleransi) bernilai TRUE, program berhenti. Kode program pascal untuk penyelesaian kasus : program NumerikOrder_1_2; {$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils; var no, i, interval :integer; t, toleransi, delta, Estimasi:real; O1xt, O1x1t, Orde1 : real; O2xt, O2x1t, Ex, Ex1, Orde2 : real; S : String; procedure inisialisasi; begin Writeln (''); writeln (' Metode Numerik : Solusi Persamaan Differensial '); writeln (' (c) pohny : P2700210066 '); Writeln (''); Write ('Input nilai TOLERANSI = '); Readln(toleransi); Write ('Input nilai DELTA = '); Readln(delta); Write ('Input nilai INTERVAL AWAL = '); Readln(interval); t:=-(delta); O1xt:=10; O2xt:=10; no:=0; writeln ('|-------------------------------------------------------------------------|'); writeln ('| langkah t | Order 1 (Xa)| Order 2 (Xb) | E est | E est <= Toleransi |'); writeln ('|-------------------------------------------------------------------------|'); end; procedure hitung; begin for i:=0 to interval do begin no:=no+1; t:= t + delta; // nilai t O1x1t := -2*O1xt; // Awal Orde 1 -------------------->
Orde1 := O1xt + (delta * O1x1t); // Akhir Orde I ------------------->
O2x1t := -2*O2xt; // Awal Orde II ------------------->
Ex := O2xt + (delta * O2x1t);
Ex1 := -2 * Ex;
Orde2 := O2xt + (0.5) * delta * (O2x1t + Ex1); // Akhir Orde II ------>
Estimasi := ABS(Orde2-Orde1);
if (Estimasi <= Toleransi) then S:=('True') else S:=('False'); writeln (' ', no-1:4, ' ', t:4:2,' ',Orde1:8:8,' ',Orde2:8:8,' ',Estimasi:8:8,' ',S); O1xt := Orde1; O2xt := Orde2; if (S='True') then begin Writeln('Nilai ESTIMASI <= TOLERANSI pada langkah ke ',no-1); break; end; end; end; begin inisialisasi; hitung; if (S='False') then begin Writeln('Nilai ESTIMASI <= TOLERANSI belum ditemukan... !!!'); Writeln('Menambah nilai INTERVAL secara OTOMATIS'); repeat hitung until S='True'; end; readln; end. Gambar eksekusi program Lanjutan.. Kasus 2 : Rangkaian Seri RLC Pelepasan muatan kapasitor, pada t=0, saklar S ditutup, sehingga vi(t) = 0, t ≥ 0 dan diketahui kondisi awal Vc (0) = 1 volt, i(0) = 0 ampere Tanggal kelahiran : 28-11-1981. Hal ini berarti nilai komponen RLC adalah: R = 8 Ohm, L = 9 Henry, C = 1 Farad Solusi mencari i(t): Hukum Kirchoff II / Kirchoff’s Voltage Law (KVL) Jumlah tegangan pada suatu lintasan tertutup samadengan nol, atau penjumlahan tegangan pada masing-masing komponen penyusunnya yang membentuk satu lintasan tertutup akan bernilai samadengan nol. Secara matematis : Vloop = 0 ::. dapat ditulis menjadi VR + VL +VC = 0 Persamaan dasar : V_R=Ri(t) , V_L=L (di(t))/dt , V_c=1/C ∫▒〖i(t) dt ,dan (〖dV〗_c (t))/dt=1/C i(t) 〗 dengan kondisi awal Vc(0) = 1, maka persamaan menjadi : Ri(t)+L di(t)/dt+V_c (t)=0 (5) Persamaan (5) dapat ditulis menjadi : (di(t))/dt+R/L i(t)+V_c (t)=0 (6) (di(t))/dt=-R/L i(t)-1/L Vc(t) Persamaan Orde I (7) (d^2 i(t))/(dt^2 )=-R/L (di(t))/dt-1/L (〖dV〗_c (t))/dt Persamaan Orde II (8) Diketahui bahwa (〖dV〗_c (t))/dt=1/C i(t), maka persamaan (8) menjadi : (d^2 i(t))/(dt^2 )=-R/L (di(t))/dt-1/LC i(t) Persamaan Orde II (9) Pada persamaan (7), untuk t = 0, i(0) = 0, dan Vc(0) = 1, maka (di(0))/dt=-R/L i(0)-1/L Vc(0) (10) di(0)/dt=-1/L= -1/9= -0,1111 (10.a) Untuk mendapatkan persamaan arusnya, terlebih dahulu dihitung 0 dan α rangkaian seri RLC tersebut dengan nilai R = 8 Ohm , L = 9 Henry , C = 1 Farad ω_0=1/√LC= 1/√9.1=0,3333 α= R/2L= 8/2.9=0,4444 Karena α > ω_0, maka respon terlalu teredam (overdamped), sehingga persamaan arusnya adalah:
i(t)= A_1 e^(s_1 t)+A_2 e^(s_2 t) (11)
Dengan s1 dan s2 adalah :
s_1=-α+√(α^2-ω_0^2 )=-0,4444+√(〖0,4444〗^2-〖0,3333〗^2 )=-0,1504
s_2=-α-√(α^2-ω_0^2 )=-0,4444-√(〖0,4444〗^2-〖0,3333〗^2 )=-0,7383
Dengan memasukkan nilai s1 dan s2 , maka didapatkan persamaan arus :
i(t)= A e^(-0,1504 t)+B e^(-0,7383t) ampere (11.a)
Untuk t = 0 dan i(0)=0,
i(0)= A e^0+B e^0 ampere
0 = A + B
A = - B
Untuk mendapatkan nilai A1 dan A2, Pers. (11.a) dideferensialkan, menjadi :
di(t)/dt=(-0,1504 A e^(- 0,1504 t) )+(- 0,7383B e^(- 0,7383t) )
untuk t = 0, dan di(0)/dt=-0,1111 ; lihat persamaan (10.a), maka :
di(0)/dt=(- 0,1504A e^0 )+(- 0,7383B e^0 )
Karena A = -B, maka B = -A, maka perubahan variable mengubah notasi menjadi penjumlahan.
-0,1111=-0,1504 A+0,7383 A=0,5 A
A=(-0,1111)/0,5=-0,222
Karena A = - B, maka :
A= -0,222 dan B=0,222
Dengan memasukkan nilai A dan B ke persamaan (11.a), maka persamaan arusnya menjadi :
i(t)=-0,222 e^(- 0,1504 t)+0,222 e^(- 0,7383 t) ampere (11.b)
i(t)= 0,222 (e^(- 0,1504 t)- e^(- 0,7383 t) ) ampere (12)
-Solusi untuk mencari Vc(t)
V_c (t)=1/c ∫▒〖i(t) dt〗
=1/1 ∫▒〖0,222(e^(- 0,1504 t)- e^(- 0,7383 t) ) 〗 dt
=0,222(∫▒〖e^(- 0,1504 t) dt-〗 ∫▒e^(- 0,7383 t) dt )
Catatan : Berdasarkan tabel integral :
∫▒e^kx dx= e^kx/k
Maka persamaan Vc(t) menjadi :
V_c (t)=0,222(e^(- 0,1504 t)/(- 0,1504)-e^(-0,7383 t)/(- 0,7383 ) ) (13)
Berikut Listing Program Mencari nilai vc(t) dan i(t) Analitik :
program Vct_It_Analitik;
{$APPTYPE CONSOLE}
uses
SysUtils;
var
t : integer;
n : integer;
Time,VC,Arus : array [0..1000] of real;
step:integer;
begin
n:=600;
step:=0;
Writeln(' pohny : P2700210066');
Writeln('-----------------------------------------------------');
Writeln(' Nilai Vc(t) dan I(t) Analitik ');
Writeln(' Untuk R = 8 Ohm, L = 9 Henry, C = 1 Farad');
Writeln(' Redaman : OVERDUMPED');
Writeln('-----------------------------------------------------');
Writeln(' step t Vc(t) Analitik i(t) Analitik ');
Writeln('-----------------------------------------------------');
for t:=1 to n do
begin
step:=step+1;
Time[t]:=(t-1)*0.2;
Arus[t]:=0.222 *(exp(-0.1504*Time[t])-exp(-0.7383*Time[t]));
VC[t]:=0.222 *((exp(-0.1504*Time[t])/-0.1504)-(exp(-0.7383*Time[t])/-
0.7383));
Writeln(' ',step,' ',Time[t]:4:2,' ',VC[t]:9:9,' ',Arus[t]:9:9);
end;
readln;
end.
Catatan: Nilai i(t) bernilai positif artinya arah arusnya tidak terbalik
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
SOLUSI NUMERIK : METODE EULER
Persamaan differensial yang digunakan:
∴ (dV_c (t))/dt=1/C i(t) dt ∴ (d^2 V_c (t))/dt=1/C di(t)/dt
∴ (di(t))/dt=-R/L i(t)-1/L V_c (t) ∴ (d^2 i(t))/dt=-R/L (di(t))/dt- 1/L (dV_c (t))/dt
Dengan kondisi awal :〖 V〗_c (0)=1 Volt dan i(0)=0 Ampere dan R = 8 Ohm ; L = 9 H ; C = 1 F
Metode Numerik Orde I ; IA(∆t) dan VA(∆t)
I_A (∆t)= i(t+∆t)=i(t)+∆t((di(t))/dt) (14)
V_A (∆t)= V_c (t+∆t)=V_c (t)+∆t((dV_c (t))/dt) (15)
Metode Numerik Orde II atau IB(∆t) dan VB(∆t)
I_B (∆t)= i(t+∆t)=i(t)+∆t [-R/L i(t)-1/L V_c (t)]+1/2 〖∆t〗^2 [-R/L (-R/L i(t)-1/L V_c (t))-1/L (1/C i(t)) ] 16)
V_B (∆t)= V_c (t+∆t)=V_c (t)+∆t[ 1/C i(t)]+1/2 〖∆t〗^2 [ 1/C (-R/L i(t) - 1/L 〖 V〗_c (t)) ] (17)
Estimasi Error : E_( I est)=|I_B (∆t)-I_A (∆t)| dan E_( V_c est)=|V_B (∆t)-V_A (∆t)| (18)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Solusi menggunakan Metode Numerik Deret Euler Orde I
Misalnya Δt = 0.05
t=0 t=0
i(0+0,05)=i(0)+∆t(di(0)/dt)
=i(0)+∆t(-8/9 i(0)-1/9 V_c (0) )
=0+0,05(-8/9.0-1/9.1)
i(0,05)=-0,061111111 V_c (0+0,05) =V_c (0)+∆t((dV_c (0))/dt)
=V_c (0)+∆t(1/C i(0) )
=1+0,05(1/9.0)
V_c (0,05)=1
t=0,05 t=0,05
i(∆t) =i(0,05)+∆t(-8/9 i(0,05)-1/9 V_c (0,05) )
=-0,0611+0,05(-8/9.(-0,0611)-1/9.1)
i(0,1)=-0,00063 V_c (∆t) =V_c (0,05)+∆t(1/C i(0) )
=1+0,05(1/9.(-0,061111111))
〖 V〗_c (0,1)= 0,999660528
t = 0,1 : ………………….dan seterusnya
Solusi menggunakan Metode Numerik Deret Euler Orde II
Misalnya Δt = 0.05 , ε = 0.0001
t=0
i(0+0,05)=i(0)+∆t[-8/9-1/9 V_c (0)]+1/2 〖∆t〗^2 [-8/9 (-8/9 i(0)-1/L V_c (0))-1/9 (1/1 V_c (0)) ]
=i(0)+0,05[-8/9-1/9.1]+1/2 〖0,05〗^2 [-8/9 (-8/9.0-1/L.1)-1/9 (1/1.1) ]
i(0,05)=0,03886
V_c (0+0,05) =V_c (0)+∆t(1/1 i(0))+1/2 〖∆t〗^2 [1/1 (-8/9 i(0) - 1/9 〖 V〗_c (0)) ]
=1+0,05(1/1.0)+1/2 〖0,05〗^2 [1/1 (-8/9.0 - 1/9.1) ]
V_c (0,05)=0,999861125
t=0,05
i(0,05+0,05)=i(0,05)+∆t[-8/9-1/9 V_c (0,05)]+1/2 〖∆t〗^2 [-8/9 (-8/9 i(0,05)-1/L V_c (0,05))-1/9 (1/1 V_c (0,05)) ]
=0,03886+0,05[-8/9-1/9.0,99986]+1/2 〖0,05〗^2 [-8/9 (-8/9.0,03886-1/L.0,99986)-1/9 (1/1.0,99986) ]
i(0,1)=-0,011138444
V_c (0,05+0,05) =V_c (0,05)+∆t(1/1 i(0,05))+1/2 〖∆t〗^2 [1/1 (-8/9 i(0,05) - 1/9 〖 V〗_c (0,05)) ]
=1+0,05(1/1.0)+1/2 〖0,05〗^2 [1/1 (-8/9.0 - 1/9.1) ]
V_c (0,1)=0,999861125
….dan seterusnya….
Estimasi Error : E_( I est)=|I_B (∆t)-I_A (∆t)| dan E_( V_c est)=|V_B (∆t)-V_A (∆t)| (18)
t=0 t=0
Ei est = |0,038861- ( - 0,061111111)| = 0,099972111 E Vc est = |0,999861125-1| =0,000138875
t=0,05 t=0,05
Ei est = | - 0,011138444 - (-0,00063)| = -0,010508444 E Vc est = |0,999861125-0,999660528|=0,000200597
….dan seterusnya….sampai didapatkan nilai Estimasi ≤ Toleransi
Kode Program untuk menyelesaikan pelepasan muatan Kapasitor pada Rangkaian RLC Seri
program RLC_Euler_Order_2;
{$APPTYPE CONSOLE}
uses
SysUtils;
var
no, i, interval :integer; t, toleransi, delta:real; Est_it,Est_Vct : real;
S : String; R,L,C : real; it,vct,dit,itOrde1,dVct,VctOrde1:real;
it2,vct2,itOrde2,VctOrde2:real;
procedure tanya; //------------
begin
Writeln ('');
writeln (' Metode Numerik : Solusi Persamaan Differensial ');
writeln (' (c) pohny : P2700210066 ');
Writeln ('');
Writeln ('');
Write ('Input nilai TOLERANSI = '); Readln(toleransi);
Write ('Input nilai DELTA = '); Readln(delta);
Write ('Input nilai JUMLAH LANGKAH = '); Readln(interval);
Write ('Input nilai R = '); Readln(R);
Write ('Input nilai L = '); Readln(L);
Write ('Input nilai C = '); Readln(C);
t:=-(delta); no:=0;
writeln ('|----------------------------------------------------------------|');
writeln ('|langkah t |i(t)Order 1 | i(t) Order 2 | Vc(t) Orde 1 | Vc(t) Orde 2 | Ei(t) est | E Vc(t) est | E est <= Toleransi |'); writeln ('|---------------------------------------------------------------|'); end;//--------------- procedure hitung; //----------------------------- begin it:=0; Vct:=1; it2:=0; Vct2:=1; for i:=0 to interval do begin no:=no+1; t:= t + delta; // nilai t dit := ((-R/L)*it)-((1/L)*Vct); // Awal Orde 1 ------------------------>
itOrde1:=it+(delta*dit);
dVct:=(1/C)*it;
VctOrde1:=vct+(delta*dVct); // Akhir Orde I ----------------------------->
itOrde2:=itOrde1+0.5*(delta*delta)*(((-R/L)*dit)-((1/L)*dVct)); // ------> Awal Orde II
VctOrde2:=VctOrde1+0.5*(delta*delta)*((1/C)*dit); // Akhir Orde II ------>
Est_it := ABS(itOrde2-itOrde1); //----------> Estimasi
Est_Vct:= ABS(VctOrde2-VctOrde1);
if (Est_it <= Toleransi) OR (Est_Vct <= Toleransi) then S:=('True')else S:=('False');
writeln (' ', no-1:4, ' ', t:4:2,' ',itOrde1:9:9,' ',itOrde2:9:9,' ',
VctOrde1:9:9,' ',VctOrde2:9:9,' ',Est_it:9:9,' ',Est_Vct:9:9,' ',S);
it := itOrde1; vct:=VctOrde1; it2:= itOrde2; vct2:=VctOrde2;
if (S='True') then
begin
Writeln('Nilai ESTIMASI i(t) atau ESTIMASI Vc(t) <= TOLERANSI pada langkah ke ',no-1);
break;
end;
end;
end;
begin
tanya;
hitung;
if (S='False') then
begin
Writeln('');
Writeln('Nilai ESTIMASI <= TOLERANSI belum ditemukan... !!!');
Writeln('Menambah JUMLAH LANGKAH secara OTOMATIS');
Writeln('');
repeat hitung until S='True';
end;
readln;
end.
Untuk Nilai R = 800, L = 9 dan C = 1 , Vc(0)=1, i(0)=0 : dengan cara yang sama seperti diatas didapatkan data analitik sebagai berikut :
t α ω_0 s 1 s 2 A B
0 44,4444444 0,3333333 0,00125002 -88,88763878 0,001249892 -0,001249892
Gambar. Hasil Eksekusi program – Analitik
Untuk Nilai R = 800, L = 9 dan C = 1 , Vc(0)=1, i(0)=0 : dengan merubah variable pada program,didapatkan data numerik sebagai berikut :
Untuk Nilai R = 0,08, L = 9 dan C = 1 , Vc(0)=1, i(0)=0 : dengan cara yang sama seperti diatas TIDAK didapatkan data analitik. Tidak adanya data karena program menjadi error.
Untuk Nilai R = 0,08, L = 9 dan C = 1 , Vc(0)=1, i(0)=0 : dengan merubah variable pada program,didapatkan data numerik sebagai berikut :
oOo Selesai oOo
Metode Numerik Orde I atau XA(∆t)
X_A (∆t)= x(t+∆t)=x(t)+∆t((dx(t))/dt)+Error (1)
mulai pada t = 0, dihitung x(0+∆t)=x(0)+∆t f{t,x(0)} dan seterusnya…
Metode Numerik Orde II atau XB(∆t)
X_B (∆t)= x(t+∆t)=x(t)+∆t((dx(t))/dt)+(1/2) 〖(∆t)〗^2 ((d^2 x(t))/〖dt〗^2 )+Error (2)
Jika : x^' (t)=(dx(t))/dt dan x^'' (t)=(d^2 x(t))/〖dt〗^2 , maka x(t+∆t)=x(t)+∆t[x^' (t) ]+(1/2) 〖(∆t)〗^2 [x^'' (t)]
Setelah di olah, maka persamaan numerik orde II menjadi :
x(t+∆t)=x(t)+1/2 ∆t[x^' (t)+Ex^' (t+∆t) ] (3)
Dengan :
estimasi x(t+∆t) ∶ Ex(t+∆t)=x(t)+∆t[x^' (t)]
estimasi x'(t+∆t) ∶ Ex'(t+∆t)=f{t+∆t,Ex(t+∆t)}
Estimasi Error : E_est=|X_B (∆t)-X_A (∆t)| (4)
Contoh kasus : soal yang dikelas :
(dx(t))/dt=x^' (t)=f{t,x(t) }= -2 x(t) ,x(0)=10
Solusi menggunakan Metode Numerik Deret Euler Orde I atau XA(∆t)
X_A (∆t)= x(t+∆t)=x(t)+∆t((dx(t))/dt)
Misalnya Δt = 0.05 , ε = 0.000001
Pada t=0 :
t=0∶ x(∆t) =x(0)+∆t(dx(0)/dt)
=x(0)+∆t(-2*x(0))
=10+0.05(-2*10)
x(0.05)=9
t=0.05∶ x(∆t) =x(0.05)+∆t(dx(0.05)/dt)
=9+0.05(-2*9)
x(0.1)=8.1
t = 0.1 : ………………….dan seterusnya
Solusi menggunakan Metode Numerik Deret Euler Orde II atau XB(∆t)
x(t+∆t)=x(t)+1/2 ∆t[x^' (t)+Ex^' (t+∆t) ]
t=0∶ x^' (0) =-2*10=-20
Ex(0+∆t) =x(0)+∆t[x^' (0) ]= 10+(0.05)*(-20)= 9
Ex^' (0+∆t)=-2*Ex(∆t)= -2*9= -18
x(t+∆t)=10+1/2 0.05[-20+(-18) ]
x(0.05)=9.05
t=0.05∶ x^' (0.05) =-2*9.05=-18.1
Ex(0.05+∆t) =x(0.05)+∆t[x^' (0.05) ]= 9.05+(0.05)*(-18.1)= 8.145 Ex^' (0.05+∆t)=-2*Ex(0.05+∆t)= -2*8.145= -16.29
x(t+∆t)=9.05+1/2 0.05[-18.1+(-16.29) ]
x(0.1)=8.19025
t = 0.1 : ………………….dan seterusnya
Estimasi Error :
E_est=|X_B (∆t)-X_A (∆t)|
t = 0 : Eest = | 9.05 – 9 | = 0.05
t = 0.05 : Eest = | 8.19025 – 8.1 | = 0.09025
t = 0.1 : ………………….dan seterusnya
Langkah selanjutnya adalah membandingkan nilai estimasi error dengan nilai batas toleransi sampai didapatkan Eest ≤ ε .
Langkah-langkah program :
Input Variabel ---> Proses perhitungan ----> Membandingkan hasil orde 1 dan orde 2 ----> Jika Nilai (estimasi<=toleransi) bernilai TRUE, program berhenti. Kode program pascal untuk penyelesaian kasus : program NumerikOrder_1_2; {$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils; var no, i, interval :integer; t, toleransi, delta, Estimasi:real; O1xt, O1x1t, Orde1 : real; O2xt, O2x1t, Ex, Ex1, Orde2 : real; S : String; procedure inisialisasi; begin Writeln (''); writeln (' Metode Numerik : Solusi Persamaan Differensial '); writeln (' (c) pohny : P2700210066 '); Writeln (''); Write ('Input nilai TOLERANSI = '); Readln(toleransi); Write ('Input nilai DELTA = '); Readln(delta); Write ('Input nilai INTERVAL AWAL = '); Readln(interval); t:=-(delta); O1xt:=10; O2xt:=10; no:=0; writeln ('|-------------------------------------------------------------------------|'); writeln ('| langkah t | Order 1 (Xa)| Order 2 (Xb) | E est | E est <= Toleransi |'); writeln ('|-------------------------------------------------------------------------|'); end; procedure hitung; begin for i:=0 to interval do begin no:=no+1; t:= t + delta; // nilai t O1x1t := -2*O1xt; // Awal Orde 1 -------------------->
Orde1 := O1xt + (delta * O1x1t); // Akhir Orde I ------------------->
O2x1t := -2*O2xt; // Awal Orde II ------------------->
Ex := O2xt + (delta * O2x1t);
Ex1 := -2 * Ex;
Orde2 := O2xt + (0.5) * delta * (O2x1t + Ex1); // Akhir Orde II ------>
Estimasi := ABS(Orde2-Orde1);
if (Estimasi <= Toleransi) then S:=('True') else S:=('False'); writeln (' ', no-1:4, ' ', t:4:2,' ',Orde1:8:8,' ',Orde2:8:8,' ',Estimasi:8:8,' ',S); O1xt := Orde1; O2xt := Orde2; if (S='True') then begin Writeln('Nilai ESTIMASI <= TOLERANSI pada langkah ke ',no-1); break; end; end; end; begin inisialisasi; hitung; if (S='False') then begin Writeln('Nilai ESTIMASI <= TOLERANSI belum ditemukan... !!!'); Writeln('Menambah nilai INTERVAL secara OTOMATIS'); repeat hitung until S='True'; end; readln; end. Gambar eksekusi program Lanjutan.. Kasus 2 : Rangkaian Seri RLC Pelepasan muatan kapasitor, pada t=0, saklar S ditutup, sehingga vi(t) = 0, t ≥ 0 dan diketahui kondisi awal Vc (0) = 1 volt, i(0) = 0 ampere Tanggal kelahiran : 28-11-1981. Hal ini berarti nilai komponen RLC adalah: R = 8 Ohm, L = 9 Henry, C = 1 Farad Solusi mencari i(t): Hukum Kirchoff II / Kirchoff’s Voltage Law (KVL) Jumlah tegangan pada suatu lintasan tertutup samadengan nol, atau penjumlahan tegangan pada masing-masing komponen penyusunnya yang membentuk satu lintasan tertutup akan bernilai samadengan nol. Secara matematis : Vloop = 0 ::. dapat ditulis menjadi VR + VL +VC = 0 Persamaan dasar : V_R=Ri(t) , V_L=L (di(t))/dt , V_c=1/C ∫▒〖i(t) dt ,dan (〖dV〗_c (t))/dt=1/C i(t) 〗 dengan kondisi awal Vc(0) = 1, maka persamaan menjadi : Ri(t)+L di(t)/dt+V_c (t)=0 (5) Persamaan (5) dapat ditulis menjadi : (di(t))/dt+R/L i(t)+V_c (t)=0 (6) (di(t))/dt=-R/L i(t)-1/L Vc(t) Persamaan Orde I (7) (d^2 i(t))/(dt^2 )=-R/L (di(t))/dt-1/L (〖dV〗_c (t))/dt Persamaan Orde II (8) Diketahui bahwa (〖dV〗_c (t))/dt=1/C i(t), maka persamaan (8) menjadi : (d^2 i(t))/(dt^2 )=-R/L (di(t))/dt-1/LC i(t) Persamaan Orde II (9) Pada persamaan (7), untuk t = 0, i(0) = 0, dan Vc(0) = 1, maka (di(0))/dt=-R/L i(0)-1/L Vc(0) (10) di(0)/dt=-1/L= -1/9= -0,1111 (10.a) Untuk mendapatkan persamaan arusnya, terlebih dahulu dihitung 0 dan α rangkaian seri RLC tersebut dengan nilai R = 8 Ohm , L = 9 Henry , C = 1 Farad ω_0=1/√LC= 1/√9.1=0,3333 α= R/2L= 8/2.9=0,4444 Karena α > ω_0, maka respon terlalu teredam (overdamped), sehingga persamaan arusnya adalah:
i(t)= A_1 e^(s_1 t)+A_2 e^(s_2 t) (11)
Dengan s1 dan s2 adalah :
s_1=-α+√(α^2-ω_0^2 )=-0,4444+√(〖0,4444〗^2-〖0,3333〗^2 )=-0,1504
s_2=-α-√(α^2-ω_0^2 )=-0,4444-√(〖0,4444〗^2-〖0,3333〗^2 )=-0,7383
Dengan memasukkan nilai s1 dan s2 , maka didapatkan persamaan arus :
i(t)= A e^(-0,1504 t)+B e^(-0,7383t) ampere (11.a)
Untuk t = 0 dan i(0)=0,
i(0)= A e^0+B e^0 ampere
0 = A + B
A = - B
Untuk mendapatkan nilai A1 dan A2, Pers. (11.a) dideferensialkan, menjadi :
di(t)/dt=(-0,1504 A e^(- 0,1504 t) )+(- 0,7383B e^(- 0,7383t) )
untuk t = 0, dan di(0)/dt=-0,1111 ; lihat persamaan (10.a), maka :
di(0)/dt=(- 0,1504A e^0 )+(- 0,7383B e^0 )
Karena A = -B, maka B = -A, maka perubahan variable mengubah notasi menjadi penjumlahan.
-0,1111=-0,1504 A+0,7383 A=0,5 A
A=(-0,1111)/0,5=-0,222
Karena A = - B, maka :
A= -0,222 dan B=0,222
Dengan memasukkan nilai A dan B ke persamaan (11.a), maka persamaan arusnya menjadi :
i(t)=-0,222 e^(- 0,1504 t)+0,222 e^(- 0,7383 t) ampere (11.b)
i(t)= 0,222 (e^(- 0,1504 t)- e^(- 0,7383 t) ) ampere (12)
-Solusi untuk mencari Vc(t)
V_c (t)=1/c ∫▒〖i(t) dt〗
=1/1 ∫▒〖0,222(e^(- 0,1504 t)- e^(- 0,7383 t) ) 〗 dt
=0,222(∫▒〖e^(- 0,1504 t) dt-〗 ∫▒e^(- 0,7383 t) dt )
Catatan : Berdasarkan tabel integral :
∫▒e^kx dx= e^kx/k
Maka persamaan Vc(t) menjadi :
V_c (t)=0,222(e^(- 0,1504 t)/(- 0,1504)-e^(-0,7383 t)/(- 0,7383 ) ) (13)
Berikut Listing Program Mencari nilai vc(t) dan i(t) Analitik :
program Vct_It_Analitik;
{$APPTYPE CONSOLE}
uses
SysUtils;
var
t : integer;
n : integer;
Time,VC,Arus : array [0..1000] of real;
step:integer;
begin
n:=600;
step:=0;
Writeln(' pohny : P2700210066');
Writeln('-----------------------------------------------------');
Writeln(' Nilai Vc(t) dan I(t) Analitik ');
Writeln(' Untuk R = 8 Ohm, L = 9 Henry, C = 1 Farad');
Writeln(' Redaman : OVERDUMPED');
Writeln('-----------------------------------------------------');
Writeln(' step t Vc(t) Analitik i(t) Analitik ');
Writeln('-----------------------------------------------------');
for t:=1 to n do
begin
step:=step+1;
Time[t]:=(t-1)*0.2;
Arus[t]:=0.222 *(exp(-0.1504*Time[t])-exp(-0.7383*Time[t]));
VC[t]:=0.222 *((exp(-0.1504*Time[t])/-0.1504)-(exp(-0.7383*Time[t])/-
0.7383));
Writeln(' ',step,' ',Time[t]:4:2,' ',VC[t]:9:9,' ',Arus[t]:9:9);
end;
readln;
end.
Catatan: Nilai i(t) bernilai positif artinya arah arusnya tidak terbalik
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
SOLUSI NUMERIK : METODE EULER
Persamaan differensial yang digunakan:
∴ (dV_c (t))/dt=1/C i(t) dt ∴ (d^2 V_c (t))/dt=1/C di(t)/dt
∴ (di(t))/dt=-R/L i(t)-1/L V_c (t) ∴ (d^2 i(t))/dt=-R/L (di(t))/dt- 1/L (dV_c (t))/dt
Dengan kondisi awal :〖 V〗_c (0)=1 Volt dan i(0)=0 Ampere dan R = 8 Ohm ; L = 9 H ; C = 1 F
Metode Numerik Orde I ; IA(∆t) dan VA(∆t)
I_A (∆t)= i(t+∆t)=i(t)+∆t((di(t))/dt) (14)
V_A (∆t)= V_c (t+∆t)=V_c (t)+∆t((dV_c (t))/dt) (15)
Metode Numerik Orde II atau IB(∆t) dan VB(∆t)
I_B (∆t)= i(t+∆t)=i(t)+∆t [-R/L i(t)-1/L V_c (t)]+1/2 〖∆t〗^2 [-R/L (-R/L i(t)-1/L V_c (t))-1/L (1/C i(t)) ] 16)
V_B (∆t)= V_c (t+∆t)=V_c (t)+∆t[ 1/C i(t)]+1/2 〖∆t〗^2 [ 1/C (-R/L i(t) - 1/L 〖 V〗_c (t)) ] (17)
Estimasi Error : E_( I est)=|I_B (∆t)-I_A (∆t)| dan E_( V_c est)=|V_B (∆t)-V_A (∆t)| (18)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Solusi menggunakan Metode Numerik Deret Euler Orde I
Misalnya Δt = 0.05
t=0 t=0
i(0+0,05)=i(0)+∆t(di(0)/dt)
=i(0)+∆t(-8/9 i(0)-1/9 V_c (0) )
=0+0,05(-8/9.0-1/9.1)
i(0,05)=-0,061111111 V_c (0+0,05) =V_c (0)+∆t((dV_c (0))/dt)
=V_c (0)+∆t(1/C i(0) )
=1+0,05(1/9.0)
V_c (0,05)=1
t=0,05 t=0,05
i(∆t) =i(0,05)+∆t(-8/9 i(0,05)-1/9 V_c (0,05) )
=-0,0611+0,05(-8/9.(-0,0611)-1/9.1)
i(0,1)=-0,00063 V_c (∆t) =V_c (0,05)+∆t(1/C i(0) )
=1+0,05(1/9.(-0,061111111))
〖 V〗_c (0,1)= 0,999660528
t = 0,1 : ………………….dan seterusnya
Solusi menggunakan Metode Numerik Deret Euler Orde II
Misalnya Δt = 0.05 , ε = 0.0001
t=0
i(0+0,05)=i(0)+∆t[-8/9-1/9 V_c (0)]+1/2 〖∆t〗^2 [-8/9 (-8/9 i(0)-1/L V_c (0))-1/9 (1/1 V_c (0)) ]
=i(0)+0,05[-8/9-1/9.1]+1/2 〖0,05〗^2 [-8/9 (-8/9.0-1/L.1)-1/9 (1/1.1) ]
i(0,05)=0,03886
V_c (0+0,05) =V_c (0)+∆t(1/1 i(0))+1/2 〖∆t〗^2 [1/1 (-8/9 i(0) - 1/9 〖 V〗_c (0)) ]
=1+0,05(1/1.0)+1/2 〖0,05〗^2 [1/1 (-8/9.0 - 1/9.1) ]
V_c (0,05)=0,999861125
t=0,05
i(0,05+0,05)=i(0,05)+∆t[-8/9-1/9 V_c (0,05)]+1/2 〖∆t〗^2 [-8/9 (-8/9 i(0,05)-1/L V_c (0,05))-1/9 (1/1 V_c (0,05)) ]
=0,03886+0,05[-8/9-1/9.0,99986]+1/2 〖0,05〗^2 [-8/9 (-8/9.0,03886-1/L.0,99986)-1/9 (1/1.0,99986) ]
i(0,1)=-0,011138444
V_c (0,05+0,05) =V_c (0,05)+∆t(1/1 i(0,05))+1/2 〖∆t〗^2 [1/1 (-8/9 i(0,05) - 1/9 〖 V〗_c (0,05)) ]
=1+0,05(1/1.0)+1/2 〖0,05〗^2 [1/1 (-8/9.0 - 1/9.1) ]
V_c (0,1)=0,999861125
….dan seterusnya….
Estimasi Error : E_( I est)=|I_B (∆t)-I_A (∆t)| dan E_( V_c est)=|V_B (∆t)-V_A (∆t)| (18)
t=0 t=0
Ei est = |0,038861- ( - 0,061111111)| = 0,099972111 E Vc est = |0,999861125-1| =0,000138875
t=0,05 t=0,05
Ei est = | - 0,011138444 - (-0,00063)| = -0,010508444 E Vc est = |0,999861125-0,999660528|=0,000200597
….dan seterusnya….sampai didapatkan nilai Estimasi ≤ Toleransi
Kode Program untuk menyelesaikan pelepasan muatan Kapasitor pada Rangkaian RLC Seri
program RLC_Euler_Order_2;
{$APPTYPE CONSOLE}
uses
SysUtils;
var
no, i, interval :integer; t, toleransi, delta:real; Est_it,Est_Vct : real;
S : String; R,L,C : real; it,vct,dit,itOrde1,dVct,VctOrde1:real;
it2,vct2,itOrde2,VctOrde2:real;
procedure tanya; //------------
begin
Writeln ('');
writeln (' Metode Numerik : Solusi Persamaan Differensial ');
writeln (' (c) pohny : P2700210066 ');
Writeln ('');
Writeln ('');
Write ('Input nilai TOLERANSI = '); Readln(toleransi);
Write ('Input nilai DELTA = '); Readln(delta);
Write ('Input nilai JUMLAH LANGKAH = '); Readln(interval);
Write ('Input nilai R = '); Readln(R);
Write ('Input nilai L = '); Readln(L);
Write ('Input nilai C = '); Readln(C);
t:=-(delta); no:=0;
writeln ('|----------------------------------------------------------------|');
writeln ('|langkah t |i(t)Order 1 | i(t) Order 2 | Vc(t) Orde 1 | Vc(t) Orde 2 | Ei(t) est | E Vc(t) est | E est <= Toleransi |'); writeln ('|---------------------------------------------------------------|'); end;//--------------- procedure hitung; //----------------------------- begin it:=0; Vct:=1; it2:=0; Vct2:=1; for i:=0 to interval do begin no:=no+1; t:= t + delta; // nilai t dit := ((-R/L)*it)-((1/L)*Vct); // Awal Orde 1 ------------------------>
itOrde1:=it+(delta*dit);
dVct:=(1/C)*it;
VctOrde1:=vct+(delta*dVct); // Akhir Orde I ----------------------------->
itOrde2:=itOrde1+0.5*(delta*delta)*(((-R/L)*dit)-((1/L)*dVct)); // ------> Awal Orde II
VctOrde2:=VctOrde1+0.5*(delta*delta)*((1/C)*dit); // Akhir Orde II ------>
Est_it := ABS(itOrde2-itOrde1); //----------> Estimasi
Est_Vct:= ABS(VctOrde2-VctOrde1);
if (Est_it <= Toleransi) OR (Est_Vct <= Toleransi) then S:=('True')else S:=('False');
writeln (' ', no-1:4, ' ', t:4:2,' ',itOrde1:9:9,' ',itOrde2:9:9,' ',
VctOrde1:9:9,' ',VctOrde2:9:9,' ',Est_it:9:9,' ',Est_Vct:9:9,' ',S);
it := itOrde1; vct:=VctOrde1; it2:= itOrde2; vct2:=VctOrde2;
if (S='True') then
begin
Writeln('Nilai ESTIMASI i(t) atau ESTIMASI Vc(t) <= TOLERANSI pada langkah ke ',no-1);
break;
end;
end;
end;
begin
tanya;
hitung;
if (S='False') then
begin
Writeln('');
Writeln('Nilai ESTIMASI <= TOLERANSI belum ditemukan... !!!');
Writeln('Menambah JUMLAH LANGKAH secara OTOMATIS');
Writeln('');
repeat hitung until S='True';
end;
readln;
end.
Untuk Nilai R = 800, L = 9 dan C = 1 , Vc(0)=1, i(0)=0 : dengan cara yang sama seperti diatas didapatkan data analitik sebagai berikut :
t α ω_0 s 1 s 2 A B
0 44,4444444 0,3333333 0,00125002 -88,88763878 0,001249892 -0,001249892
Gambar. Hasil Eksekusi program – Analitik
Untuk Nilai R = 800, L = 9 dan C = 1 , Vc(0)=1, i(0)=0 : dengan merubah variable pada program,didapatkan data numerik sebagai berikut :
Untuk Nilai R = 0,08, L = 9 dan C = 1 , Vc(0)=1, i(0)=0 : dengan cara yang sama seperti diatas TIDAK didapatkan data analitik. Tidak adanya data karena program menjadi error.
Untuk Nilai R = 0,08, L = 9 dan C = 1 , Vc(0)=1, i(0)=0 : dengan merubah variable pada program,didapatkan data numerik sebagai berikut :
oOo Selesai oOo
Tugas 2 Analitik Luas Bidang
Carilah masing-masing Luas Analitik dari bidang antara f(x) dan sumbu x pada interval a ≤ x ≤ b, dengan f(x) semua yang digunakan pada Tugas 1 serta nilai a dan b-nya masing-masing adalah nilai-nilai awal yang digunakan ketika mencari akar secara numerik dengan metode Bisection.
Susunlah PROGRAM KOMPUTER (bahasa pemrograman apa saja) untuk mencari Luas Numerik (metode 4-PERSEGI PANJANG dan metode TRAPESIUM) dari bidang pada soal 1) di atas, dengan N yang cukup banyak sehingga Error-nya < 0,01% dibandingkan Luas Analitik.
Masukkan ke dalam program yang anda susun, suatu algorithma menghitung (estimasi) Error tanpa menggunakan Luas Analitik. Gunakan algorithma itu untuk menghentikan program dari menambah jumlah N.
Bahaslah kelebihan dan kekurangan metode numerik mencari luas bidang dibandingkan metode analitik.
Jawaban
PENYELESAIAN ANALITIK
Fungsi : f(x)= x^2-x-6, Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 3
Luas =|[∫_0^3▒(x^2-x-6)dx] |+|[∫_3^5▒(x^2-x-6)dx] |
=|[〖1/3 x〗^3-1/2 x^2-6x] | 3¦0+|[〖1/3 x〗^3-1/2 x^2-6x] | 5¦3
=|(〖1/3 3〗^3-1/2 3^2-6.3)-(〖1/3 0〗^3-1/2 0^2-6.0) |+|(〖1/3 5〗^3-1/2 5^2-6.5)-(〖1/3 3〗^3-1/2 3^2-6.3) |
=|(-13,5)-(0) |+|(-0,8333333)-(-13,5) |
=26,1666667
Fungsi : f(x)= x^3-x-6 Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 2
Luas=|[∫_0^2▒(x^3-x-6)dx] |+|[∫_2^5▒(x^3-x-6)dx] |
=|[〖1/4 x〗^4-1/2 x^2-6x] | 2¦0+|[〖1/4 x〗^4-1/2 x^2-6x] | 5¦2
=|(〖1/4 2〗^4-1/2 2^2-6.2)-(〖1/4 0〗^4-1/2 0^2-6.0) |+|(〖1/4 5〗^4-1/2 5^2-6.5)-(〖1/4 2〗^4-1/2 2^2-6.2) |
=|(-10)-(0) |+|(113,8)-(-10)|
=133,75
Fungsi : f(x)= x^2,5-x-6 Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 2,3
Luas=|[∫_0^2,3▒(x^2,5-x-6)dx] |+|[∫_2,3^5▒(x^2,5-x-6)dx] |
=|[〖1/3,5 x〗^3,5-1/2 x^2-6x] | 2,3¦0+|[〖1/3,5 x〗^3,5-1/2 x^2-6x] | 5¦2,3
=|(〖1/3,5 2,3〗^3,5-1/2 〖2,3〗^2-6.2,3)-(〖1/3,5 0〗^3,5-1/2 0^2-6.0) |+
|(〖1/3,5 5〗^3,5-1/2 5^2-6.5)-(〖1/3,5 2,3〗^3,5-1/2 〖2,3〗^2-6.2,3) |
=|(-11,17295168)-(0) |+|(37,35957062)-(-11,17295168) |
=59,70547399
Fungsi : f(x)= x^5-2x^4+8x^3-1x^2+9x-8
Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 0,7
Luas=|[∫_0^0,7▒(x^5-2x^4+7x^3-1x^2+9x-8)dx] |+|[∫_0,7^5▒(x^5-2x^4+7x^3-1x^2+9x-8)dx] |
=|[〖1/6 x〗^6-2/5 x^5+7/4 x^4-1/3 x^3+9/2 x^2-8x] | 0,7¦0+|[〖1/6 x〗^6-2/5 x^5+7/4 x^4-1/3 x^3+9/2 x^2-8x] | 5¦0,7
=|(〖1/6 0,7〗^6-2/5 〖0,7〗^5+7/4 〖0,7〗^4-1/3 〖0,7〗^3+9/2 〖0,7〗^2-8.0,7)-(〖1/6 0〗^6-2/5 0^5+7/4 0^4-1/3 0^3+9/2 0^2-8.0) |+
|(〖1/6 5〗^6-2/5 5^5+7/4 5^4-1/3 5^3+9/2 5^2-8.5)-(〖1/6 0,7〗^6-2/5 〖0,7〗^5+7/4 〖0,7〗^4-1/3 〖0,7〗^3+9/2 〖0,7〗^2-8.0,7) |
=|(-3,136778167)-(0) |+|(2478,75)-(-3,136778167) |
=2485,023556
PENYELESAIAN NUMERIK
Penyelesaian numerik menggunakan metode 4-persegi panjang dan metode trapesium.
Metode 4-persegi panjang dan metode trapesium
Interval a < x < b dibagi menjadi N sub-interval. Untuk mengetahui ∆x setiap jumlah interval (N) digunakan persamaan :
∆x= ((b-a))/N
x_i=a+i∆x, i=0,1,2,3,…….,N
x_n=b
Contoh : diinginkan jumlah interval adalah 1000, maka :
∆x= ((5-0))/1000=0,005
Untuk menghitung error, digunakan persamaan :
Error=|(Luas Numerik-Luas Analitik)/(Luas Analitik)|*100%
Untuk menghitung (estimasi) error tanpa diketahui Luas analitiknya, maka digunakan Luas trapezium sebagai acuan:
Error=|(Luas 4PersegiPanjang-Luas Trapesium)/(Luas Trapesium)|*100%
Untuk metode 4-persegi panjang
L_i=∆x*|f(x_i ) |, i=0,1,2,3,………,N-1
atau
L_i=∆x*|f(x_i+∆x) |, i=0,1,2,3,………,N-1
Untuk metode Trapesium
L_i=∆x*[|f(x_i)|+|f(x_i+∆x) |/2, i=0,1,2,3,………,N-1
Luas bidang = ∑▒〖L_i, i=0,1,2,3,………,N-1〗
Penyelesaian dengan metode 4-persegi panjang dan metode trapesium
Fungsi : f(x)= x^2-x-6
Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 3
N ∆x Luas Trapesium Error Trapesium Luas Persegi 4 Error Persegi 4
==============================================================================================
1 5.000000000 20.000000000 23.566878981 30.000000000 14.649681529
2 2.500000000 25.000000000 4.458598726 20.625000000 21.178343949
3 1.666666667 24.814814815 5.166312810 21.111111111 19.320594480
4 1.250000000 25.000000000 4.458598726 22.812500000 12.818471338
5 1.000000000 26.000000000 0.636942675 22.000000000 15.923566879
:
:
991 0.005045409 26.166642036 0.000094128 26.146511335 0.077026747
992 0.005040323 26.166657361 0.000035564 26.146521470 0.076988012
993 0.005035247 26.166657361 0.000035563 26.146541733 0.076910574
994 0.005030181 26.166642230 0.000093389 26.146572091 0.076794559
995 0.005025126 26.166662458 0.000016084 26.146561956 0.076833291
996 0.005020080 26.166642283 0.000093185 26.146612385 0.076640568
997 0.005015045 26.166657454 0.000035208 26.146622419 0.076602221
998 0.005010020 26.166657454 0.000035207 26.146642479 0.076525557
999 0.005005005 26.166642474 0.000092457 26.146672534 0.076410699
1000 0.005000000 26.166662500 0.000015924 26.146662500 0.076449045
Untuk mendapatkan nilai error (%) pada N = 1000
Error (4 Persegi Panjang)= |(26,1466625-26.1666667)/26.1666667|*100%=0,00076449 %
Error (Trapesium)= |(26.166662500-26.1666667)/26.1666667|*100%=1,59248E-07
Estimasi Error= |(26,1466625-1,59248E-07)/(1,59248E-07)|*100%=164187904,5 %
Penyelesaian dengan metode 4-persegi panjang dan metode trapesium
Fungsi : f(x)= x^3-x-6
Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 2
N ∆x Luas Trapesium Error Trapesium Luas Persegi 4 Error Persegi 4
==============================================================================================
:
:
998 0.005010020 133.750095686 0.000071541 133.479609795 0.202160901
999 0.005005005 133.750062242 0.000046536 133.479902313 0.201942196
1000 0.005000000 133.750106250 0.000079439 133.480106250 0.201789720
Untuk mendapatkan nilai error (%) pada N = 1000
Error (4 Persegi Panjang)= |(133.480106250-133.750000000)/133.750000000|*100%=0,02017897 %
Error (Trapesium)= |(133.750106250-133.750000000)/133.750000000|*100%=7,94393E-07 %
Estimasi Error= |(133.480106250-133.750106250)/133.750106250|*100%= 0,00201869 %
Penyelesaian dengan metode 4-persegi panjang dan metode trapesium
Fungsi : f(x)= x^2,5-x-6
Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 2,3
N ∆x Luas Trapesium Error Trapesium Luas Persegi 4 Error Persegi 4
==============================================================================================
:
:
998 0.005010020 59.715365328 0.016566882 59.617947411 0.146597249
999 0.005005005 59.715342084 0.016527949 59.618065122 0.146400096
1000 0.005000000 59.715368492 0.016572181 59.618132318 0.146287550
59.705473993
Untuk mendapatkan nilai error (%) pada N = 1000
Error (4 Persegi Panjang)= |(59.618132318-59.705473993)/59.705473993|*100%=0,001462875 %
Error (Trapesium)= |(59.715368492-59.705473993)/59.705473993|*100%= 0,000165772 %
Estimasi Error= |(59.618132318-59.715368492)/59.715368492|*100%= 0,001628327 %
Penyelesaian dengan metode 4-persegi panjang dan metode trapesium
Fungsi : f(x)= x^5-2x^4+8x^3-x^2+9x-8
Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 2,3
N ∆x Luas Trapesium Error Trapesium Luas Persegi 4 Error Persegi 4
==============================================================================================
:
:
998 0.00501 2480.61085 78981.48812 2483.09081 79060.54885
999 0.00501 2480.61778 78981.70902 2483.09776 79060.77039
1000 0.00500 2480.62472 78981.93027 2483.10472 79060.99229
Untuk mendapatkan nilai error (%) pada N = 1000
Error (4 Persegi Panjang)= |(2483,10472-2485,023556)/2485,023556|*100%=0,00077216 %
Error (Trapesium)= |(2483,10472-2485,023556)/2485,023556|*100%= 0,001770139 %
Estimasi Error= |(2483,10472-2480,62472)/2480,62472|*100%= 0,000999748 %
Algoritma :
Procedure Mencari_Akar_Persamaan;
Begin
1 : Batas_Bawah a;
2 : Batas_Atas b;
3 : Toleransi T:
For N := 1 to 1000 do
Begin
dx:=(b-a)/n;
For M := 1 to N do
Begin
fp := persamaan(p);
q := a + m * dx;
fq := persamaan(q);
L[m] := 0.5 * abs(fp+fq)*dx;
L4[m] := abs(fp*dx);
Luas := Luas + L[m];
Luas_4 := Luas_4 + L4[m];
End;
errorTrapesium := abs((Luas - LAnalitik)/LAnalitik)*100;
error4 := abs((Luas_4 - LAnalitik)/LAnalitik)*100;
end;
Kelebihan dan kekurangan Metode Numerik dan Metode Analitik
Metode Numerik Analitik
Mudah dalam mencari luas bidang, walaupun tidak diketahui penyelesaian analitiknya Integral tidak selalu dapat mencari luas bidang
Selalu bernilai positif karena diabsolutkan Hasil bisa bernilai positif dan negatif
Error dapat diestimasi dengan cara membandingkan dengan metode numeric yang lain Tanpa error
Susunlah PROGRAM KOMPUTER (bahasa pemrograman apa saja) untuk mencari Luas Numerik (metode 4-PERSEGI PANJANG dan metode TRAPESIUM) dari bidang pada soal 1) di atas, dengan N yang cukup banyak sehingga Error-nya < 0,01% dibandingkan Luas Analitik.
Masukkan ke dalam program yang anda susun, suatu algorithma menghitung (estimasi) Error tanpa menggunakan Luas Analitik. Gunakan algorithma itu untuk menghentikan program dari menambah jumlah N.
Bahaslah kelebihan dan kekurangan metode numerik mencari luas bidang dibandingkan metode analitik.
Jawaban
PENYELESAIAN ANALITIK
Fungsi : f(x)= x^2-x-6, Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 3
Luas =|[∫_0^3▒(x^2-x-6)dx] |+|[∫_3^5▒(x^2-x-6)dx] |
=|[〖1/3 x〗^3-1/2 x^2-6x] | 3¦0+|[〖1/3 x〗^3-1/2 x^2-6x] | 5¦3
=|(〖1/3 3〗^3-1/2 3^2-6.3)-(〖1/3 0〗^3-1/2 0^2-6.0) |+|(〖1/3 5〗^3-1/2 5^2-6.5)-(〖1/3 3〗^3-1/2 3^2-6.3) |
=|(-13,5)-(0) |+|(-0,8333333)-(-13,5) |
=26,1666667
Fungsi : f(x)= x^3-x-6 Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 2
Luas=|[∫_0^2▒(x^3-x-6)dx] |+|[∫_2^5▒(x^3-x-6)dx] |
=|[〖1/4 x〗^4-1/2 x^2-6x] | 2¦0+|[〖1/4 x〗^4-1/2 x^2-6x] | 5¦2
=|(〖1/4 2〗^4-1/2 2^2-6.2)-(〖1/4 0〗^4-1/2 0^2-6.0) |+|(〖1/4 5〗^4-1/2 5^2-6.5)-(〖1/4 2〗^4-1/2 2^2-6.2) |
=|(-10)-(0) |+|(113,8)-(-10)|
=133,75
Fungsi : f(x)= x^2,5-x-6 Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 2,3
Luas=|[∫_0^2,3▒(x^2,5-x-6)dx] |+|[∫_2,3^5▒(x^2,5-x-6)dx] |
=|[〖1/3,5 x〗^3,5-1/2 x^2-6x] | 2,3¦0+|[〖1/3,5 x〗^3,5-1/2 x^2-6x] | 5¦2,3
=|(〖1/3,5 2,3〗^3,5-1/2 〖2,3〗^2-6.2,3)-(〖1/3,5 0〗^3,5-1/2 0^2-6.0) |+
|(〖1/3,5 5〗^3,5-1/2 5^2-6.5)-(〖1/3,5 2,3〗^3,5-1/2 〖2,3〗^2-6.2,3) |
=|(-11,17295168)-(0) |+|(37,35957062)-(-11,17295168) |
=59,70547399
Fungsi : f(x)= x^5-2x^4+8x^3-1x^2+9x-8
Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 0,7
Luas=|[∫_0^0,7▒(x^5-2x^4+7x^3-1x^2+9x-8)dx] |+|[∫_0,7^5▒(x^5-2x^4+7x^3-1x^2+9x-8)dx] |
=|[〖1/6 x〗^6-2/5 x^5+7/4 x^4-1/3 x^3+9/2 x^2-8x] | 0,7¦0+|[〖1/6 x〗^6-2/5 x^5+7/4 x^4-1/3 x^3+9/2 x^2-8x] | 5¦0,7
=|(〖1/6 0,7〗^6-2/5 〖0,7〗^5+7/4 〖0,7〗^4-1/3 〖0,7〗^3+9/2 〖0,7〗^2-8.0,7)-(〖1/6 0〗^6-2/5 0^5+7/4 0^4-1/3 0^3+9/2 0^2-8.0) |+
|(〖1/6 5〗^6-2/5 5^5+7/4 5^4-1/3 5^3+9/2 5^2-8.5)-(〖1/6 0,7〗^6-2/5 〖0,7〗^5+7/4 〖0,7〗^4-1/3 〖0,7〗^3+9/2 〖0,7〗^2-8.0,7) |
=|(-3,136778167)-(0) |+|(2478,75)-(-3,136778167) |
=2485,023556
PENYELESAIAN NUMERIK
Penyelesaian numerik menggunakan metode 4-persegi panjang dan metode trapesium.
Metode 4-persegi panjang dan metode trapesium
Interval a < x < b dibagi menjadi N sub-interval. Untuk mengetahui ∆x setiap jumlah interval (N) digunakan persamaan :
∆x= ((b-a))/N
x_i=a+i∆x, i=0,1,2,3,…….,N
x_n=b
Contoh : diinginkan jumlah interval adalah 1000, maka :
∆x= ((5-0))/1000=0,005
Untuk menghitung error, digunakan persamaan :
Error=|(Luas Numerik-Luas Analitik)/(Luas Analitik)|*100%
Untuk menghitung (estimasi) error tanpa diketahui Luas analitiknya, maka digunakan Luas trapezium sebagai acuan:
Error=|(Luas 4PersegiPanjang-Luas Trapesium)/(Luas Trapesium)|*100%
Untuk metode 4-persegi panjang
L_i=∆x*|f(x_i ) |, i=0,1,2,3,………,N-1
atau
L_i=∆x*|f(x_i+∆x) |, i=0,1,2,3,………,N-1
Untuk metode Trapesium
L_i=∆x*[|f(x_i)|+|f(x_i+∆x) |/2, i=0,1,2,3,………,N-1
Luas bidang = ∑▒〖L_i, i=0,1,2,3,………,N-1〗
Penyelesaian dengan metode 4-persegi panjang dan metode trapesium
Fungsi : f(x)= x^2-x-6
Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 3
N ∆x Luas Trapesium Error Trapesium Luas Persegi 4 Error Persegi 4
==============================================================================================
1 5.000000000 20.000000000 23.566878981 30.000000000 14.649681529
2 2.500000000 25.000000000 4.458598726 20.625000000 21.178343949
3 1.666666667 24.814814815 5.166312810 21.111111111 19.320594480
4 1.250000000 25.000000000 4.458598726 22.812500000 12.818471338
5 1.000000000 26.000000000 0.636942675 22.000000000 15.923566879
:
:
991 0.005045409 26.166642036 0.000094128 26.146511335 0.077026747
992 0.005040323 26.166657361 0.000035564 26.146521470 0.076988012
993 0.005035247 26.166657361 0.000035563 26.146541733 0.076910574
994 0.005030181 26.166642230 0.000093389 26.146572091 0.076794559
995 0.005025126 26.166662458 0.000016084 26.146561956 0.076833291
996 0.005020080 26.166642283 0.000093185 26.146612385 0.076640568
997 0.005015045 26.166657454 0.000035208 26.146622419 0.076602221
998 0.005010020 26.166657454 0.000035207 26.146642479 0.076525557
999 0.005005005 26.166642474 0.000092457 26.146672534 0.076410699
1000 0.005000000 26.166662500 0.000015924 26.146662500 0.076449045
Untuk mendapatkan nilai error (%) pada N = 1000
Error (4 Persegi Panjang)= |(26,1466625-26.1666667)/26.1666667|*100%=0,00076449 %
Error (Trapesium)= |(26.166662500-26.1666667)/26.1666667|*100%=1,59248E-07
Estimasi Error= |(26,1466625-1,59248E-07)/(1,59248E-07)|*100%=164187904,5 %
Penyelesaian dengan metode 4-persegi panjang dan metode trapesium
Fungsi : f(x)= x^3-x-6
Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 2
N ∆x Luas Trapesium Error Trapesium Luas Persegi 4 Error Persegi 4
==============================================================================================
:
:
998 0.005010020 133.750095686 0.000071541 133.479609795 0.202160901
999 0.005005005 133.750062242 0.000046536 133.479902313 0.201942196
1000 0.005000000 133.750106250 0.000079439 133.480106250 0.201789720
Untuk mendapatkan nilai error (%) pada N = 1000
Error (4 Persegi Panjang)= |(133.480106250-133.750000000)/133.750000000|*100%=0,02017897 %
Error (Trapesium)= |(133.750106250-133.750000000)/133.750000000|*100%=7,94393E-07 %
Estimasi Error= |(133.480106250-133.750106250)/133.750106250|*100%= 0,00201869 %
Penyelesaian dengan metode 4-persegi panjang dan metode trapesium
Fungsi : f(x)= x^2,5-x-6
Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 2,3
N ∆x Luas Trapesium Error Trapesium Luas Persegi 4 Error Persegi 4
==============================================================================================
:
:
998 0.005010020 59.715365328 0.016566882 59.617947411 0.146597249
999 0.005005005 59.715342084 0.016527949 59.618065122 0.146400096
1000 0.005000000 59.715368492 0.016572181 59.618132318 0.146287550
59.705473993
Untuk mendapatkan nilai error (%) pada N = 1000
Error (4 Persegi Panjang)= |(59.618132318-59.705473993)/59.705473993|*100%=0,001462875 %
Error (Trapesium)= |(59.715368492-59.705473993)/59.705473993|*100%= 0,000165772 %
Estimasi Error= |(59.618132318-59.715368492)/59.715368492|*100%= 0,001628327 %
Penyelesaian dengan metode 4-persegi panjang dan metode trapesium
Fungsi : f(x)= x^5-2x^4+8x^3-x^2+9x-8
Nilai Awal : a = 0, b = 5, c= 2,3
N ∆x Luas Trapesium Error Trapesium Luas Persegi 4 Error Persegi 4
==============================================================================================
:
:
998 0.00501 2480.61085 78981.48812 2483.09081 79060.54885
999 0.00501 2480.61778 78981.70902 2483.09776 79060.77039
1000 0.00500 2480.62472 78981.93027 2483.10472 79060.99229
Untuk mendapatkan nilai error (%) pada N = 1000
Error (4 Persegi Panjang)= |(2483,10472-2485,023556)/2485,023556|*100%=0,00077216 %
Error (Trapesium)= |(2483,10472-2485,023556)/2485,023556|*100%= 0,001770139 %
Estimasi Error= |(2483,10472-2480,62472)/2480,62472|*100%= 0,000999748 %
Algoritma :
Procedure Mencari_Akar_Persamaan;
Begin
1 : Batas_Bawah a;
2 : Batas_Atas b;
3 : Toleransi T:
For N := 1 to 1000 do
Begin
dx:=(b-a)/n;
For M := 1 to N do
Begin
fp := persamaan(p);
q := a + m * dx;
fq := persamaan(q);
L[m] := 0.5 * abs(fp+fq)*dx;
L4[m] := abs(fp*dx);
Luas := Luas + L[m];
Luas_4 := Luas_4 + L4[m];
End;
errorTrapesium := abs((Luas - LAnalitik)/LAnalitik)*100;
error4 := abs((Luas_4 - LAnalitik)/LAnalitik)*100;
end;
Kelebihan dan kekurangan Metode Numerik dan Metode Analitik
Metode Numerik Analitik
Mudah dalam mencari luas bidang, walaupun tidak diketahui penyelesaian analitiknya Integral tidak selalu dapat mencari luas bidang
Selalu bernilai positif karena diabsolutkan Hasil bisa bernilai positif dan negatif
Error dapat diestimasi dengan cara membandingkan dengan metode numeric yang lain Tanpa error
Tugas 1 Metode Bisection
MENCARI AKAR PERSAMAAN DENGAN METODE BISECTION
Metode bisection adalah metode yang membagi area dibagi menjadi 2 bagian. Dari dua bagian ini dipilih bagian yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang sehingga area akan dipersempit sampai diperoleh akar persamaan.
Langkah metode bisection :
Untuk memilih 2 bagian tersebut, maka dipilih secara acak nilai a sebagai batas bawah dan nilai b sebagai batas atas untuk taksiran akar sehingga terjadi perubahan tanda fungsi dalam selang interval. Masukkan nilai a ke persamaan sehingga didapatkan f(a), dan masukkan juga nilai b ke persamaan sehingga didapatkan f(b).Nilai a dan nilai b harus memenuhi syarat, yaitu :
f(a) . f(b) < 0 Hitung nilai c dengan : c=(a+b)/2 Kemudian masukkan nilai c kedalam persamaan sehingga didapatkan nilai f(c). Jika f(c) < 0, maka pada iterasi berikutnya, nilai c mengganti nilai a. Jika f(c) > 0, maka pada iterasi berikutnya, nilai c mengganti nilai b.
Untuk itersai berikutnya, ulangi langkah pada poin 2 dan 3, dan seterusnya
Pembahasan tugas adalah mencari akar persamaan dengan menggunakan metode bisection. Ada 4 persamaan yang dicari akar persamaannya, yaitu :
f(x)= x^2-x-6=0
f(x)= x^3-x-6=0
f(x)= x^2,5-x-6=0
f(x)= x^5-〖Ax〗^4+〖Bx〗^3-〖Cx〗^2+Dx-E=0 , dengan nilai A, B, C, D dan E diambil dari angka-angka bukan 0 (nol) tanggal lahir.
Persamaan 1 :
f(x)= x^2-x-6=0
Iterasi -1
Tentukan nilai a dan dan nilai b, masukkan ke persamaan sehingga di dapat nilai f(a) dan f(b).
a = 0, maka f(a)= 〖a^2- a-6=0〗^2- 0-6=-6
b = 5, maka f(b)= 〖b^2- b-6=5〗^2- 5-6=14
diperiksa dengan f(a) * f(b) < 0, dan hasilnya adalah : -6*14<0, artinya pemilihan nilai a dan nilai b valid atau memenuhi syarat. c=(0+5)/2=2,5 ,sehingga f(c)=〖2,5〗^2-2,5-6= -2,25 Karena hasilnya f(c) < 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai a diganti dengan nilai c dan nilai b tetap. Iterasi -2 Pada iterasi ke-2, nilai c mengganti nilai a dan nilai b tetap sehingga : a = 2,5, maka f(a)= 〖a^2- a-6=2,5〗^2-2,5 -6=-2,25 b = 5, maka f(b)= 〖b^2- b-6=5〗^2- 5-6=14 kemudian : c=(2,5+5)/2=3,75, sehingga f(c)=〖3,75〗^2-3,75-6= 4,3125 Karena hasilnya f(c) > 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai b diganti dengan nilai c dan nilai a tetap.
Iterasi -3
Pada iterasi ke-3, nilai c mengganti nilai b dan nilai a tetap sehingga :
a = 2,5, maka f(a)= 〖a^2- a-6=2,5〗^2-(2,5) -6=-2,25
b = 3,75, maka f(b)= 〖b^2- b-6=3,75〗^2- 3,75-6=4,3125
kemudian :
c=(2,5+3,73)/2=3,125, sehingga f(c)=〖3,125〗^2-3,125-6= 0,640625
Karena hasilnya f(c) > 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai b diganti nilai c dan nilai a tetap.
Langkah yang sama diterapkan pada iterasi selanjutnya hingga didapatkan nilai f(c) mendekati nol atau f(c)=0.
Untuk persamaan f(x)=x^2-x-6=0, dengan nilai a = 0 dan nilai b = 5 dan tingkat ketelitian sampai 0,00001 sehingga proses perhitungan berakhir pada iterasi ke-19 dan didapatkan nilai c = 3,00000190734863 dan f(c)=9,536746802041313E-6.
Nilai f(c) tersebut dianggap mendekati nol sehingga didapatkan akar untuk persamaan diatas adalah x = 3,00000190734863.
Tampilan program mencari akar persamaan f(x)= x^2-x-6=0
Persamaan 2 :
f(x)= x^3-x-6=0
Iterasi -1
Tentukan nilai a dan dan nilai b, masukkan ke persamaan sehingga di dapat nilai f(a) dan f(b).
a = 0, maka f(a)= 〖a^3- a-6=0〗^3- 0-6=-6
b = 5, maka f(b)= 〖b^3- b-6=5〗^3- 5-6=114
diperiksa dengan f(a) * f(b) < 0, dan hasilnya adalah : -6*114<0, artinya pemilihan nilai a dan nilai b valid atau memenuhi syarat. c=(0+5)/2=2,5 ,sehingga f(c)=〖2,5〗^3-2,5-6= 7,125 Karena hasilnya f(c) > 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai b diganti dengan nilai c dan nilai a tetap.
Iterasi -2
Pada iterasi ke-2, nilai c mengganti nilai b dan nilai a tetap sehingga :
a = 0, maka f(a)= 〖a^3- a-6=0〗^3-0 -6=-6
b = 2,5, maka f(b)= 〖b^3- b-6=2,5〗^3- 2,5-6=7,125
kemudian :
c=(0+2,5)/2=1,25, sehingga f(c)=〖1,25〗^3-1,25-6= -5,296875
Karena hasilnya f(c) < 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai a diganti dengan nilai c dan nilai b tetap. Iterasi -3 Pada iterasi ke-3, nilai c mengganti nilai b dan nilai a tetap sehingga : a = 1,25, maka f(a)= 〖a^3- a-6=1,25〗^3-1,25 -6=-5,296875 b = 2,5, maka f(b)= 〖b^3- b-6=2,5〗^3- 2,5-6=7,125 kemudian : c= (1,25+2,5)/2=1,875, sehingga f(c)=〖1,875〗^3-1,875-6= -1,283203125 Karena hasilnya f(c) < 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai a diganti nilai c dan nilai b tetap. Langkah yang sama diterapkan pada iterasi selanjutnya hingga didapatkan nilai f(c) mendekati nol atau f(c)=0. Untuk persamaan f(x)=x^3-x-6=0, dengan nilai a = 0 dan nilai b = 5 dan tingkat ketelitian sampai 0,00001, proses perhitungan berakhir pada iterasi ke-21 dan didapatkan nilai c = 2,00000047683716 dan f(c)=5,24521010447643E-6. Nilai f(c) tersebut dianggap mendekati nol sehingga didapatkan akar untuk persamaan diatas adalah x = 2,00000047683716. Tampilan program mencari akar persamaan f(x)= x^3-x-6=0 Persamaan 3 : f(x)= x^2,5-x-6=0 Iterasi -1 Tentukan nilai a dan dan nilai b, masukkan ke persamaan sehingga di dapat nilai f(a) dan f(b). a = 0, maka f(a)= 〖a^2,5- a-6=0〗^2,5- 0-6=-6 b = 5, maka f(b)= 〖b^2,5- b-6=5〗^2,5- 5-6=44,9016994374947 diperiksa dengan f(a) * f(b) < 0, dan hasilnya adalah : -6*44,9016994374947 <0, artinya pemilihan nilai a dan nilai b valid atau memenuhi syarat. c=(0+5)/2=2,5 ,sehingga f(c)=〖2,5〗^2,5-2,5-6=1,38211768802619 Karena hasilnya f(c) > 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai b diganti dengan nilai c dan nilai a tetap.
Iterasi -2
Pada iterasi ke-2, nilai c mengganti nilai b dan nilai a tetap sehingga :
a = 0, maka f(a)= 〖a^2,5- a-6=0〗^2,5-0 -6=-6
b = 2,5, maka f(b)= 〖b^2,5- b-6=2,5〗^2,5- 2,5-6=1,38211768802619
kemudian :
c=(0+2,5)/2=1,25, sehingga f(c)=〖1,25〗^2,5-1,25-6= -5,50307189257829
Karena hasilnya f(c) < 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai a diganti dengan nilai c dan nilai b tetap. Iterasi -3 Pada iterasi ke-3, nilai c mengganti nilai a dan nilai b tetap sehingga : a = 1,25, maka f(a)= 〖a^2,5- a-6=1,25〗^2,5-1,25 -6=-5,50307189257829 b = 2,5, maka f(b)= 〖b^2,5- b-6=2,5〗^2,5- 2,5-6=1,38211768802619 kemudian : c=(1,25+2,5)/2=1,875, sehingga f(c)=〖1,875〗^2,5-1,875-6= -3,06103220942725 Karena hasilnya f(c) < 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai a diganti nilai c dan nilai b tetap. Langkah yang sama diterapkan pada iterasi selanjutnya hingga didapatkan nilai f(c) mendekati nol atau f(c)=0. Untuk persamaan f(x)=x^2,5-x-6=0, dengan nilai a = 0 dan nilai b = 5 dan tingkat ketelitian sampai 0,00001, proses perhitungan berakhir pada iterasi ke-21 dan didapatkan nilai c = 2,33545541763306 dan f(c)=-7,28903263809335E-6. Nilai f(c) tersebut dianggap mendekati nol sehingga didapatkan akar untuk persamaan diatas adalah x = 2, 33545541763306. Tampilan program mencari akar persamaan f(x)= x^2,5-x-6=0 Persamaan 4 : f(x)= x^5-〖Ax〗^4+〖Bx〗^3-〖Cx〗^2+Dx-E=0 , dengan nilai A, B, C, D dan E diambil dari angka-angka bukan 0 (nol) tanggal lahir. Karena tanggal lahir : 28-11-1981, maka dipilih nilai A = 2, B = 8, C = 1, D = 1 dan E = 8, maka persamaan menjadi : f(x)= x^5-〖2x〗^4+〖8x〗^3-〖1x〗^2+1x-8=0 Iterasi -1 Tentukan nilai a dan dan nilai b, masukkan ke persamaan sehingga di dapat nilai f(a) dan f(b). a = 0, maka f(a)=a^5-〖2a〗^4+〖8a〗^3-〖1a〗^2+1a-8 =0^5-〖(2*0〗^4)+〖(8*0〗^3)-〖(1*0〗^2)+(1*0)-8 f(a)=-8 b = 5, maka f(b)= b^5-〖2b〗^4+〖8b〗^3-〖1b〗^2+1b-8 =5^5-〖(2*5〗^4)+〖(8*5〗^3)-〖(1*5〗^2)+(1*5)-8 f(b)=2847 diperiksa dengan f(a) * f(b) < 0, dan hasilnya adalah : -8*2847<0, artinya pemilihan nilai a dan nilai b valid atau memenuhi syarat. c=(0+5)/2=2,5 ,sehingga f(c)=c^5-〖2c〗^4+〖8c〗^3-〖1c〗^2+1c-8 = 〖2,5〗^5-〖(2*2,5〗^4)+〖(8*2,5〗^3)-〖(1*2,5〗^2)+(1*2,5)-8 f(c)=132,78125 Karena hasilnya f(c) > 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai b diganti dengan nilai c dan nilai a tetap.
Iterasi -2
Pada iterasi ke-2, nilai c mengganti nilai b dan nilai a tetap sehingga :
a = 0, maka f(a)=-8
b = 2,5, maka f(b)= 〖2,5〗^5-〖(2*2,5〗^4)+〖(8*2,5〗^3)-〖(1*2,5〗^2)+(1*2,5)-8
f(b)=132,78125
kemudian :
c=(0+2,5)/2=1,25, sehingga
f(c)= 〖1,25〗^5-〖(2*1,25〗^4)+〖(8*1,25〗^3)-〖(1*1,25〗^2)+(1*1,25)-8
f(c)=8,37695313
Karena hasilnya f(c) > 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai b diganti dengan nilai c dan nilai a tetap.
Iterasi -3
Pada iterasi ke-3, nilai c mengganti nilai b dan nilai a tetap sehingga :
a = 0, maka f(a)=-8
b = 1,25 , maka f(b)=8,37695313
kemudian :
c=(0+1,25)/2=0,625 , sehingga
f(c)=〖0,625〗^5-〖(2*0,625〗^4)+〖(8*0,625〗^3)-〖(1*0,625〗^2)+(1*0,625)-8
f(c)=-7,068331148
Karena hasilnya f(c) < 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai a diganti nilai c dan nilai b tetap. Langkah yang sama diterapkan pada iterasi selanjutnya hingga didapatkan nilai f(c) mendekati nol atau f(c)=0. Untuk persamaan f(x)= x^5-〖2x〗^4+〖8x〗^3-〖1x〗^2+1x-8=0, dengan nilai a = 0 dan nilai b = 5 dan tingkat ketelitian sampai 0,00001, proses perhitungan berakhir pada iterasi ke-22 dan didapatkan nilai c = 1,04756951332092 dan f(c)=2,33295802166879E-6. Nilai f(c) tersebut dianggap mendekati nol sehingga didapatkan akar untuk persamaan diatas adalah x =1,04756951332092. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Algoritma (pseudo code): Procedure Mencari_Akar_Persamaan; Begin c:=0; 1 : Batas_Bawah a; 2 : Batas_Atas b; 3 : Toleransi T: 4 : If ( f(a)*f(b)) > 0 then ke-langkah 1 dan 2; {cek validasi nilai a dan b}
5 : Repeat
c:=(a+b)/2;
f(c):=persamaan (c);
if f(c) < 0 then begin a:=c; f(a) := persamaan (a) end else begin b:=c; f(b) := persamaan (b) end until f(c)< T OR f(c)= 0; output akar := c; end; Penggalan kode untuk metode bisection c := (BatasBawah + BatasAtas)/2; FC := persamaan(c); if (IsZero( abs(FC), FPendekatan)) then begin baru.SubItems.Add('Akar x = '+ FloatToStr(c)); end else if (FC < 0) then begin if ((persamaan(BatasBawah) < 0) and (persamaan(BatasAtas) > 0)) then
begin
BatasBawah := c;
end;
if ((persamaan(BatasBawah) > 0) and (persamaan(BatasAtas ) < 0)) then begin BatasAtas := c; end; end else if (FC > 0) then
begin
if ((persamaan(BatasBawah) > 0) and (persamaan(BatasAtas) < 0)) then begin BatasBawah := c; end; if ((persamaan(BatasBawah) < 0) and (persamaan(BatasAtas) > 0)) then
begin
BatasAtas := c;
end;
end;
until (IsZero( abs(FC), Pendekatan) );
end;
Keterangan :
IsZero adalah fungsi yang digunakan untuk memeriksa apakah nilai abs(fc) sangat dekat dengan nilai pendekatan yang diberikan (toleransi error).
Ciri-ciri penyelesaian numerik dan analitik:
No Numerik Analitik
1 Menggunakan operasi perhitungan / aritmatika biasa (tambah, kurang, kali dan bagi) Menggunakan berbagai macam operasi perhitungan tingkat lanjut (kalkulus, aljabar, geometri
2 Solusi selalu berbentuk angka Solusi bisa berbentuk fungsi yang kemudian menghasilkan angka
3 Bukan solusi exact, tetapi mendekati solusi exact sehingga disebut juga solusi pendekatan (approximation) Solusi exact
4 Mempunyai error (selisih solusi numerik terhadap solusi exact) Tidak ada error atau error = 0
5 Error dapat diperkecil dengan berbagai metode (contoh : memperbanyak iterasi dan memperbanyak interval)
6 Mampu menyelesaikan persoalan matematika yang tidak bisa dilakukan oleh metode analitik Unggul untuk persoalan yang terbatas
7 Bersifat praktis Bersifat teoritis
8 Iterasi aritmatika biasanya berjumlah banyak Umumnya tanpa iterasi
9 Membutuhkan alat bantu untuk perhitungan (kalkulator, computer) Dapat diselesaikan tanpa alat bantu
Metode bisection adalah metode yang membagi area dibagi menjadi 2 bagian. Dari dua bagian ini dipilih bagian yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang sehingga area akan dipersempit sampai diperoleh akar persamaan.
Langkah metode bisection :
Untuk memilih 2 bagian tersebut, maka dipilih secara acak nilai a sebagai batas bawah dan nilai b sebagai batas atas untuk taksiran akar sehingga terjadi perubahan tanda fungsi dalam selang interval. Masukkan nilai a ke persamaan sehingga didapatkan f(a), dan masukkan juga nilai b ke persamaan sehingga didapatkan f(b).Nilai a dan nilai b harus memenuhi syarat, yaitu :
f(a) . f(b) < 0 Hitung nilai c dengan : c=(a+b)/2 Kemudian masukkan nilai c kedalam persamaan sehingga didapatkan nilai f(c). Jika f(c) < 0, maka pada iterasi berikutnya, nilai c mengganti nilai a. Jika f(c) > 0, maka pada iterasi berikutnya, nilai c mengganti nilai b.
Untuk itersai berikutnya, ulangi langkah pada poin 2 dan 3, dan seterusnya
Pembahasan tugas adalah mencari akar persamaan dengan menggunakan metode bisection. Ada 4 persamaan yang dicari akar persamaannya, yaitu :
f(x)= x^2-x-6=0
f(x)= x^3-x-6=0
f(x)= x^2,5-x-6=0
f(x)= x^5-〖Ax〗^4+〖Bx〗^3-〖Cx〗^2+Dx-E=0 , dengan nilai A, B, C, D dan E diambil dari angka-angka bukan 0 (nol) tanggal lahir.
Persamaan 1 :
f(x)= x^2-x-6=0
Iterasi -1
Tentukan nilai a dan dan nilai b, masukkan ke persamaan sehingga di dapat nilai f(a) dan f(b).
a = 0, maka f(a)= 〖a^2- a-6=0〗^2- 0-6=-6
b = 5, maka f(b)= 〖b^2- b-6=5〗^2- 5-6=14
diperiksa dengan f(a) * f(b) < 0, dan hasilnya adalah : -6*14<0, artinya pemilihan nilai a dan nilai b valid atau memenuhi syarat. c=(0+5)/2=2,5 ,sehingga f(c)=〖2,5〗^2-2,5-6= -2,25 Karena hasilnya f(c) < 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai a diganti dengan nilai c dan nilai b tetap. Iterasi -2 Pada iterasi ke-2, nilai c mengganti nilai a dan nilai b tetap sehingga : a = 2,5, maka f(a)= 〖a^2- a-6=2,5〗^2-2,5 -6=-2,25 b = 5, maka f(b)= 〖b^2- b-6=5〗^2- 5-6=14 kemudian : c=(2,5+5)/2=3,75, sehingga f(c)=〖3,75〗^2-3,75-6= 4,3125 Karena hasilnya f(c) > 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai b diganti dengan nilai c dan nilai a tetap.
Iterasi -3
Pada iterasi ke-3, nilai c mengganti nilai b dan nilai a tetap sehingga :
a = 2,5, maka f(a)= 〖a^2- a-6=2,5〗^2-(2,5) -6=-2,25
b = 3,75, maka f(b)= 〖b^2- b-6=3,75〗^2- 3,75-6=4,3125
kemudian :
c=(2,5+3,73)/2=3,125, sehingga f(c)=〖3,125〗^2-3,125-6= 0,640625
Karena hasilnya f(c) > 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai b diganti nilai c dan nilai a tetap.
Langkah yang sama diterapkan pada iterasi selanjutnya hingga didapatkan nilai f(c) mendekati nol atau f(c)=0.
Untuk persamaan f(x)=x^2-x-6=0, dengan nilai a = 0 dan nilai b = 5 dan tingkat ketelitian sampai 0,00001 sehingga proses perhitungan berakhir pada iterasi ke-19 dan didapatkan nilai c = 3,00000190734863 dan f(c)=9,536746802041313E-6.
Nilai f(c) tersebut dianggap mendekati nol sehingga didapatkan akar untuk persamaan diatas adalah x = 3,00000190734863.
Tampilan program mencari akar persamaan f(x)= x^2-x-6=0
Persamaan 2 :
f(x)= x^3-x-6=0
Iterasi -1
Tentukan nilai a dan dan nilai b, masukkan ke persamaan sehingga di dapat nilai f(a) dan f(b).
a = 0, maka f(a)= 〖a^3- a-6=0〗^3- 0-6=-6
b = 5, maka f(b)= 〖b^3- b-6=5〗^3- 5-6=114
diperiksa dengan f(a) * f(b) < 0, dan hasilnya adalah : -6*114<0, artinya pemilihan nilai a dan nilai b valid atau memenuhi syarat. c=(0+5)/2=2,5 ,sehingga f(c)=〖2,5〗^3-2,5-6= 7,125 Karena hasilnya f(c) > 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai b diganti dengan nilai c dan nilai a tetap.
Iterasi -2
Pada iterasi ke-2, nilai c mengganti nilai b dan nilai a tetap sehingga :
a = 0, maka f(a)= 〖a^3- a-6=0〗^3-0 -6=-6
b = 2,5, maka f(b)= 〖b^3- b-6=2,5〗^3- 2,5-6=7,125
kemudian :
c=(0+2,5)/2=1,25, sehingga f(c)=〖1,25〗^3-1,25-6= -5,296875
Karena hasilnya f(c) < 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai a diganti dengan nilai c dan nilai b tetap. Iterasi -3 Pada iterasi ke-3, nilai c mengganti nilai b dan nilai a tetap sehingga : a = 1,25, maka f(a)= 〖a^3- a-6=1,25〗^3-1,25 -6=-5,296875 b = 2,5, maka f(b)= 〖b^3- b-6=2,5〗^3- 2,5-6=7,125 kemudian : c= (1,25+2,5)/2=1,875, sehingga f(c)=〖1,875〗^3-1,875-6= -1,283203125 Karena hasilnya f(c) < 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai a diganti nilai c dan nilai b tetap. Langkah yang sama diterapkan pada iterasi selanjutnya hingga didapatkan nilai f(c) mendekati nol atau f(c)=0. Untuk persamaan f(x)=x^3-x-6=0, dengan nilai a = 0 dan nilai b = 5 dan tingkat ketelitian sampai 0,00001, proses perhitungan berakhir pada iterasi ke-21 dan didapatkan nilai c = 2,00000047683716 dan f(c)=5,24521010447643E-6. Nilai f(c) tersebut dianggap mendekati nol sehingga didapatkan akar untuk persamaan diatas adalah x = 2,00000047683716. Tampilan program mencari akar persamaan f(x)= x^3-x-6=0 Persamaan 3 : f(x)= x^2,5-x-6=0 Iterasi -1 Tentukan nilai a dan dan nilai b, masukkan ke persamaan sehingga di dapat nilai f(a) dan f(b). a = 0, maka f(a)= 〖a^2,5- a-6=0〗^2,5- 0-6=-6 b = 5, maka f(b)= 〖b^2,5- b-6=5〗^2,5- 5-6=44,9016994374947 diperiksa dengan f(a) * f(b) < 0, dan hasilnya adalah : -6*44,9016994374947 <0, artinya pemilihan nilai a dan nilai b valid atau memenuhi syarat. c=(0+5)/2=2,5 ,sehingga f(c)=〖2,5〗^2,5-2,5-6=1,38211768802619 Karena hasilnya f(c) > 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai b diganti dengan nilai c dan nilai a tetap.
Iterasi -2
Pada iterasi ke-2, nilai c mengganti nilai b dan nilai a tetap sehingga :
a = 0, maka f(a)= 〖a^2,5- a-6=0〗^2,5-0 -6=-6
b = 2,5, maka f(b)= 〖b^2,5- b-6=2,5〗^2,5- 2,5-6=1,38211768802619
kemudian :
c=(0+2,5)/2=1,25, sehingga f(c)=〖1,25〗^2,5-1,25-6= -5,50307189257829
Karena hasilnya f(c) < 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai a diganti dengan nilai c dan nilai b tetap. Iterasi -3 Pada iterasi ke-3, nilai c mengganti nilai a dan nilai b tetap sehingga : a = 1,25, maka f(a)= 〖a^2,5- a-6=1,25〗^2,5-1,25 -6=-5,50307189257829 b = 2,5, maka f(b)= 〖b^2,5- b-6=2,5〗^2,5- 2,5-6=1,38211768802619 kemudian : c=(1,25+2,5)/2=1,875, sehingga f(c)=〖1,875〗^2,5-1,875-6= -3,06103220942725 Karena hasilnya f(c) < 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai a diganti nilai c dan nilai b tetap. Langkah yang sama diterapkan pada iterasi selanjutnya hingga didapatkan nilai f(c) mendekati nol atau f(c)=0. Untuk persamaan f(x)=x^2,5-x-6=0, dengan nilai a = 0 dan nilai b = 5 dan tingkat ketelitian sampai 0,00001, proses perhitungan berakhir pada iterasi ke-21 dan didapatkan nilai c = 2,33545541763306 dan f(c)=-7,28903263809335E-6. Nilai f(c) tersebut dianggap mendekati nol sehingga didapatkan akar untuk persamaan diatas adalah x = 2, 33545541763306. Tampilan program mencari akar persamaan f(x)= x^2,5-x-6=0 Persamaan 4 : f(x)= x^5-〖Ax〗^4+〖Bx〗^3-〖Cx〗^2+Dx-E=0 , dengan nilai A, B, C, D dan E diambil dari angka-angka bukan 0 (nol) tanggal lahir. Karena tanggal lahir : 28-11-1981, maka dipilih nilai A = 2, B = 8, C = 1, D = 1 dan E = 8, maka persamaan menjadi : f(x)= x^5-〖2x〗^4+〖8x〗^3-〖1x〗^2+1x-8=0 Iterasi -1 Tentukan nilai a dan dan nilai b, masukkan ke persamaan sehingga di dapat nilai f(a) dan f(b). a = 0, maka f(a)=a^5-〖2a〗^4+〖8a〗^3-〖1a〗^2+1a-8 =0^5-〖(2*0〗^4)+〖(8*0〗^3)-〖(1*0〗^2)+(1*0)-8 f(a)=-8 b = 5, maka f(b)= b^5-〖2b〗^4+〖8b〗^3-〖1b〗^2+1b-8 =5^5-〖(2*5〗^4)+〖(8*5〗^3)-〖(1*5〗^2)+(1*5)-8 f(b)=2847 diperiksa dengan f(a) * f(b) < 0, dan hasilnya adalah : -8*2847<0, artinya pemilihan nilai a dan nilai b valid atau memenuhi syarat. c=(0+5)/2=2,5 ,sehingga f(c)=c^5-〖2c〗^4+〖8c〗^3-〖1c〗^2+1c-8 = 〖2,5〗^5-〖(2*2,5〗^4)+〖(8*2,5〗^3)-〖(1*2,5〗^2)+(1*2,5)-8 f(c)=132,78125 Karena hasilnya f(c) > 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai b diganti dengan nilai c dan nilai a tetap.
Iterasi -2
Pada iterasi ke-2, nilai c mengganti nilai b dan nilai a tetap sehingga :
a = 0, maka f(a)=-8
b = 2,5, maka f(b)= 〖2,5〗^5-〖(2*2,5〗^4)+〖(8*2,5〗^3)-〖(1*2,5〗^2)+(1*2,5)-8
f(b)=132,78125
kemudian :
c=(0+2,5)/2=1,25, sehingga
f(c)= 〖1,25〗^5-〖(2*1,25〗^4)+〖(8*1,25〗^3)-〖(1*1,25〗^2)+(1*1,25)-8
f(c)=8,37695313
Karena hasilnya f(c) > 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai b diganti dengan nilai c dan nilai a tetap.
Iterasi -3
Pada iterasi ke-3, nilai c mengganti nilai b dan nilai a tetap sehingga :
a = 0, maka f(a)=-8
b = 1,25 , maka f(b)=8,37695313
kemudian :
c=(0+1,25)/2=0,625 , sehingga
f(c)=〖0,625〗^5-〖(2*0,625〗^4)+〖(8*0,625〗^3)-〖(1*0,625〗^2)+(1*0,625)-8
f(c)=-7,068331148
Karena hasilnya f(c) < 0, maka untuk iterasi berikutnya, nilai a diganti nilai c dan nilai b tetap. Langkah yang sama diterapkan pada iterasi selanjutnya hingga didapatkan nilai f(c) mendekati nol atau f(c)=0. Untuk persamaan f(x)= x^5-〖2x〗^4+〖8x〗^3-〖1x〗^2+1x-8=0, dengan nilai a = 0 dan nilai b = 5 dan tingkat ketelitian sampai 0,00001, proses perhitungan berakhir pada iterasi ke-22 dan didapatkan nilai c = 1,04756951332092 dan f(c)=2,33295802166879E-6. Nilai f(c) tersebut dianggap mendekati nol sehingga didapatkan akar untuk persamaan diatas adalah x =1,04756951332092. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Algoritma (pseudo code): Procedure Mencari_Akar_Persamaan; Begin c:=0; 1 : Batas_Bawah a; 2 : Batas_Atas b; 3 : Toleransi T: 4 : If ( f(a)*f(b)) > 0 then ke-langkah 1 dan 2; {cek validasi nilai a dan b}
5 : Repeat
c:=(a+b)/2;
f(c):=persamaan (c);
if f(c) < 0 then begin a:=c; f(a) := persamaan (a) end else begin b:=c; f(b) := persamaan (b) end until f(c)< T OR f(c)= 0; output akar := c; end; Penggalan kode untuk metode bisection c := (BatasBawah + BatasAtas)/2; FC := persamaan(c); if (IsZero( abs(FC), FPendekatan)) then begin baru.SubItems.Add('Akar x = '+ FloatToStr(c)); end else if (FC < 0) then begin if ((persamaan(BatasBawah) < 0) and (persamaan(BatasAtas) > 0)) then
begin
BatasBawah := c;
end;
if ((persamaan(BatasBawah) > 0) and (persamaan(BatasAtas ) < 0)) then begin BatasAtas := c; end; end else if (FC > 0) then
begin
if ((persamaan(BatasBawah) > 0) and (persamaan(BatasAtas) < 0)) then begin BatasBawah := c; end; if ((persamaan(BatasBawah) < 0) and (persamaan(BatasAtas) > 0)) then
begin
BatasAtas := c;
end;
end;
until (IsZero( abs(FC), Pendekatan) );
end;
Keterangan :
IsZero adalah fungsi yang digunakan untuk memeriksa apakah nilai abs(fc) sangat dekat dengan nilai pendekatan yang diberikan (toleransi error).
Ciri-ciri penyelesaian numerik dan analitik:
No Numerik Analitik
1 Menggunakan operasi perhitungan / aritmatika biasa (tambah, kurang, kali dan bagi) Menggunakan berbagai macam operasi perhitungan tingkat lanjut (kalkulus, aljabar, geometri
2 Solusi selalu berbentuk angka Solusi bisa berbentuk fungsi yang kemudian menghasilkan angka
3 Bukan solusi exact, tetapi mendekati solusi exact sehingga disebut juga solusi pendekatan (approximation) Solusi exact
4 Mempunyai error (selisih solusi numerik terhadap solusi exact) Tidak ada error atau error = 0
5 Error dapat diperkecil dengan berbagai metode (contoh : memperbanyak iterasi dan memperbanyak interval)
6 Mampu menyelesaikan persoalan matematika yang tidak bisa dilakukan oleh metode analitik Unggul untuk persoalan yang terbatas
7 Bersifat praktis Bersifat teoritis
8 Iterasi aritmatika biasanya berjumlah banyak Umumnya tanpa iterasi
9 Membutuhkan alat bantu untuk perhitungan (kalkulator, computer) Dapat diselesaikan tanpa alat bantu
Rabu, 05 Oktober 2011
Langganan:
Postingan (Atom)